볼록성(컨벡시티) (Convexity)

한 줄 정의: 채권가격과 수익률 사이의 관계가 직선이 아니라 곡선(볼록한 형태)을 이룬다는 점을 나타내는 지표로, 수정듀레이션의 선형근사 오차를 보정하는 2차항 개념이다.

쉽게 풀면

듀레이션만으로는 정확히 예측할 수 없는, 금리가 크게 변할 때 채권가격이 곡선으로 휘어지는 정도를 추가로 알려주는 값이다. 채권가격과 금리 사이의 관계가 직선이 아니라 곡선 형태를 띠는 정도를 나타내는 값이다.

왜 중요한가

볼록성은 채권가격과 수익률의 관계가 직선이 아니라 휘어져 있다는 사실을 수치화한 것으로, 듀레이션만으로 근사한 가격 변화의 오차를 보정합니다. 금리 변동 폭이 클 때 듀레이션 근사는 하락은 과대, 상승은 과소평가하므로, 채권 포트폴리오 실무에서는 듀레이션과 볼록성을 함께 맞추는 것이 면역화 전략의 기본입니다. 볼록성은 듀레이션만으로는 설명되지 않는 금리변화 폭이 클 때의 가격 오차를 보정해주는 2차 근사항으로, 정밀한 채권 가치평가와 위험관리에 필수적인 보완 지표입니다.

계산과 범위

채권가격 P를 수익률 y의 함수로 보면 곡선입니다. 연 1회 이자를 지급하는 채권의 현금흐름을 CF_t(t=1…n)라 하면 볼록성은 가격의 2차 도함수를 가격으로 나눈 값입니다.

C = (1/P) · Σ t(t+1)·CF_t / (1+y)^t+2

가격 변화율은 ΔP/P ≈ −D_mod·Δy + ½·C·(Δy)² 로 근사합니다(앞 항이 듀레이션, 뒤 항이 볼록성 보정). 단위는 연수²이고, 현금흐름이 고정된 무옵션 채권에서는 양수입니다.

작은 예(가상의 채권). 만기 10년, 연 5% 이표(연 1회), 액면 100, 수익률 5%이면 가격은 100.000, 수정듀레이션은 7.72, 볼록성은 약 75.0입니다.

수익률 변화	실제 가격	듀레이션만 쓴 근사	볼록성까지 쓴 근사
−2%p	117.060	115.443	116.943
−1%p	108.111	107.722	108.097
+1%p	92.640	92.278	92.653
+2%p	85.953	84.557	86.056

듀레이션만 쓴 근사는 수익률이 오르든 내리든 실제 가격보다 낮게 나오고, 변화 폭이 클수록 오차가 커집니다. 2차항을 더하면 오차가 크게 줄어듭니다.

해석 기준

같은 듀레이션이라면 볼록성이 큰 채권이 수익률이 내릴 때 가격이 더 오르고 오를 때 덜 떨어집니다. 그래서 시장에서는 그 대가로 낮은 수익률로 거래되는 경향이 있다고 설명됩니다.
수의상환채·주택저당증권처럼 조기상환 옵션이 붙은 채권은 일부 구간에서 볼록성이 음수가 될 수 있어, 위 공식(현금흐름이 고정인 경우)을 그대로 쓰지 않고 옵션을 반영한 유효볼록성을 씁니다.
이 값은 수익률곡선이 평행 이동한다는 가정 위에서 정의되며, 자료에 따라 ½을 곱한 값을 볼록성으로 부르거나 연 단위·반기 단위가 다를 수 있으므로 정의를 확인해야 합니다.

보고 방법

채권 분석에서는 듀레이션과 함께 제시하는 경우가 많습니다. 어떤 정의(½ 포함 여부, 지급 주기)를 썼는지 밝히는 것이 안전합니다.

수정듀레이션 7.72, 볼록성 75.0(연수²)이므로, 수익률 +1%p일 때 가격 변화율은 약 −7.72% + 0.5×75.0×0.01² = −7.72% + 0.38% ≈ −7.35%이다. (가상의 값, 위 표의 실제 변화율은 −7.36%)

가격 변화를 두 항으로 나누어 적으면 독자가 근사 오차의 출처를 이해하기 쉽습니다.
유효듀레이션·유효볼록성(옵션부 채권)과 일반 볼록성을 섞어 비교하지 않도록 구분해 적습니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

실제 논문에서

이 용어를 직접 쓴 국내 논문 문장을 아직 수집하지 못했습니다. 수집되는 대로 출처와 함께 싣겠습니다.

예시 문장

아래는 용어의 쓰임을 보여 주려고 만든 예시로, 실제 논문에서 가져온 문장이 아닙니다.

채권분석 문헌들은 가격-수익률 곡선을 테일러급수로 전개하여 1차항인 듀레이션과 2차항인 볼록성을 결합하면 금리변동에 대한 가격변화 예측이 훨씬 정확해진다고 설명한다.

이들은 동일한 듀레이션을 가진 채권이라도 볼록성이 클수록 금리가 오르든 내리든 더 유리한 가격변동을 보인다는 것을 수리적으로 증명하며, 볼록성이 투자자에게 항상 바람직한 특성임을 강조했다.

볼록성이 큰 채권일수록 금리 하락 시 가격 상승폭이 크고 금리 상승 시 가격 하락폭이 작아, 동일한 듀레이션이라도 투자자에게 더 유리하다.

이 문장은 볼록성이 채권 투자자에게 실제로 어떤 이점을 제공하는지 설명한다.

조금 더 깊게 보면

무옵션 채권의 볼록성은 항상 양이어서 금리가 어느 방향으로 움직여도 투자자에게 유리하지만, 수의상환채나 주택저당증권은 금리 하락 시 조기상환 때문에 음의 볼록성을 보입니다. 같은 듀레이션이라면 볼록성이 큰 채권이 유리하므로 시장은 그 대가로 낮은 수익률을 요구하며, 이것이 볼록성이 공짜가 아닌 이유입니다. 볼록성은 수익률곡선의 평행 이동을 가정한 지표라 곡선 형태 변화 위험은 잡아내지 못합니다. 볼록성은 수정듀레이션만으로는 포착되지 않는 가격-수익률 곡선의 곡률을 나타내며, 볼록성이 클수록 금리 하락 시 가격상승폭이 금리 상승 시 가격하락폭보다 커지는 비대칭적 이점을 가져 동일한 듀레이션을 가진 채권 중에서도 투자자에게 유리하다.

주의할 점

콜옵션부채권과 같이 조기상환 옵션이 내재된 채권은 특정 금리구간에서 오히려 음(-)의 볼록성을 가질 수 있어 일반 채권과 다른 위험 특성을 보인다.

헷갈리기 쉬운 용어

듀레이션 계열 지표는 이름이 비슷합니다.

용어	무엇을 나타내나
맥컬리 듀레이션	현금흐름 현재가치로 가중한 평균 회수 시점(연)
수정듀레이션	수익률 변화에 대한 가격의 상대 변화율(1차 민감도)
볼록성	가격-수익률 곡선의 곡률(2차 민감도). 듀레이션 근사의 오차를 보정

참고 문헌

Fabozzi, F. J. (2013). Bond Markets, Analysis, and Strategies. Pearson.
Macaulay, F. R. (1938). Some Theoretical Problems Suggested by the Movements of Interest Rates, Bond Yields and Stock Prices in the United States since 1856. National Bureau of Economic Research.
Fisher, L., & Weil, R. L. (1971). Coping with the risk of interest-rate fluctuations: Returns to bondholders from naive and optimal strategies. The Journal of Business, 44(4), 408.
Redington, F. M. (1952). Review of the principles of life-office valuations. Journal of the Institute of Actuaries, 78(3), 286–340.

표의 기준값은 위 문헌에 근거한 관례이며, 분야·학술지마다 다른 기준을 쓸 수 있습니다.