블랙숄즈모형 (Black-Scholes Model)

한 줄 정의: 기초자산 가격이 기하브라운운동을 따른다는 가정 하에, 유럽형 옵션의 이론적 가격을 기초자산 가격, 행사가격, 만기, 무위험이자율, 변동성의 함수로 도출하는 옵션가격결정모형이다.

쉽게 풀면

주식이나 자산의 옵션(살 권리, 팔 권리)이 이론적으로 얼마의 가치를 가져야 하는지를 수학 공식으로 계산해내는 방법이다.

왜 중요한가

블랙-숄즈 모형은 유럽식 옵션의 가치를 기초자산 가격·행사가격·만기·무위험이자율·변동성만으로 닫힌 형태로 구하는 공식으로, 현대 파생상품 시장의 가격 언어 자체가 되었습니다. 실무에서는 시장가격을 모형에 대입해 거꾸로 구한 내재변동성으로 옵션을 호가하고 위험을 관리하며, 스톡옵션 비용 회계, 실물옵션 평가에도 원용됩니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

Black & Scholes(1973)는 「The Pricing of Options and Corporate Liabilities」에서 무위험 헤지포트폴리오를 구성하는 방식으로 편미분방정식을 풀어 옵션의 폐쇄형 가격공식을 도출했다.

이들은 옵션과 기초자산을 이용해 무위험 포트폴리오를 지속적으로 재조정(델타헤지)할 수 있다는 아이디어로부터 옵션가격이 기초자산 기대수익률과 무관하게 결정됨을 보였다.

"블랙-숄즈 모형이 가정하는 일정한 변동성은 실제 시장에서 관측되는 변동성 스마일 현상과 괴리를 보인다."

모형의 이론적 단순성과 실제 시장 자료 사이의 불일치가 이후 확장 모형 연구를 촉발했음을 보여준다.

조금 더 깊게 보면

모형은 변동성이 일정하고 가격이 연속적으로 움직이며 거래비용이 없다고 가정하는데, 실제 시장에서는 행사가격별 내재변동성이 다른 변동성 스마일이 관측되어 이 가정들이 성립하지 않음을 보여줍니다. 그렇더라도 실무자들은 모형을 가격 예측 도구가 아니라 가격을 변동성 단위로 환산하는 변환 장치로 사용하기 때문에 여전히 유용합니다. 공식은 유럽식 옵션에만 정확하며, 조기행사가 의미 있는 경우에는 수치기법이 필요합니다. 블랙-숄즈 모형은 기초자산 가격이 로그정규분포를 따르고 변동성이 옵션의 만기까지 일정하다는 가정 위에 성립하는데, 실제 시장에서는 만기와 행사가격에 따라 내재변동성이 다르게 나타나는 변동성 스마일 현상이 관찰되어 이 가정이 완전히 성립하지 않음을 보여준다.

주의할 점

이 모형은 변동성이 일정하고 거래비용이 없으며 연속적 헤지가 가능하다는 등 비현실적 가정에 의존하므로, 실제 시장에서는 변동성 스마일과 같은 괴리가 관찰된다.