집합위험모형 (Collective Risk Model)
쉽게 풀면
집합위험모형은 개별 계약자 한 명 한 명을 따로 보지 않고, 보험집단 전체에서 일정 기간 동안 발생할 총 손해액이 얼마가 될지를 통계적으로 계산하는 모형입니다. 빈도심도모형과 비슷한 개념을 활용해서, 사고 건수의 확률분포와 건당 손해액의 확률분포를 결합해 전체 손해액의 분포를 도출합니다.
왜 중요한가
보험집단 전체의 총손해액 분포를 알아야 요구자본과 재보험 구조를 정할 수 있는데, 집합위험모형은 사고 건수 분포와 건당 손해액 분포를 결합해 이를 계산하는 표준 틀입니다. 빈도심도모형의 이론적 기초이자, 팬저(Panjer) 재귀식과 푸리에 변환 같은 계산 기법이 이 모형 위에서 개발되었습니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
이 문장은 전체 계약집단의 손해액이 극단적으로 커질 수 있는 수준을 계산해서, 재보험을 얼마나 가입할지 정하는 기준으로 삼았다는 것을 설명합니다.
보험금을 청구하는 사고가 몇 번 일어날지와 한 번 일어날 때 얼마나 큰 금액이 나올지를 함께 계산하는 통계 모형을 썼다는 의미입니다.
조금 더 깊게 보면
모형은 건수와 건당 손해액이 서로 독립이고 건당 손해액들이 동일분포라고 가정하는데, 대재해처럼 한 사건이 여러 청구를 동시에 유발하면 이 가정이 깨집니다. 건수에 포아송 대신 음이항분포를 쓰면 과대산포를 반영할 수 있지만, 그 선택이 꼬리 확률에 큰 영향을 줍니다. 개별 계약별로 모형화하는 개별위험모형과는 구조가 다르며, 계약 수가 많을 때 집합모형이 근사로서 편리한 것입니다. 총손해액 분포를 구하는 계산 기법으로는 팬저 재귀식, 고속푸리에변환, 몬테카를로 시뮬레이션이 있으며, 팬저 재귀식은 건수 분포가 포아송·이항·음이항처럼 (a,b,0) 계열에 속하고 심도가 이산화되어 있을 때만 적용할 수 있다는 제약이 있습니다. 연속형 심도분포는 먼저 일정 간격으로 이산화해야 하므로, 이산화 간격을 넓게 잡으면 계산은 빨라지지만 꼬리 확률의 근사 오차가 커지는 상충이 생긴다.
주의할 점
집합위험모형은 계산이 복잡해 몬테카를로시뮬레이션 등 수치적 기법을 함께 활용하는 경우가 많다.
대재해처럼 여러 청구가 동시에 발생하는 상황에서는 건수와 심도가 독립이라는 기본 가정이 깨지므로, 이런 경우에는 별도의 공통충격모형으로 보완해야 한다.