판저 재귀공식 (Panjer Recursion)
쉽게 풀면
복잡한 계단을 한 번에 오르지 않고, 한 칸 한 칸의 위치를 이전 칸의 정보로부터 계산해 나가는 방식이라고 생각하면 됩니다. 총손해액의 확률을 직접 구하려면 계산이 매우 복잡해질 수 있는데, 판저 재귀공식을 이용하면 손해액이 0일 때의 확률부터 시작해서 그 다음 값의 확률을 이전 값을 이용해 차례로 구할 수 있습니다. 이 방법 덕분에 복잡한 적분이나 합성곱 계산 없이도 총손해액 분포를 효율적으로 얻을 수 있습니다.
왜 중요한가
판저 재귀공식은 포아송분포, 이항분포, 음이항분포처럼 특정 관계식을 만족하는 사고빈도분포에 대해 총손해액분포를 컴퓨터로 빠르게 계산할 수 있게 해주어, 실무에서 준비금이나 재보험료를 계산할 때 널리 활용됩니다. 몬테카를로 시뮬레이션은 많은 반복 계산이 필요해 시간이 오래 걸리지만, 판저 재귀식을 적용할 수 있는 조건이 성립하면 정확한 분포를 빠르게 계산할 수 있어 실시간에 가까운 재보험 가격결정에 널리 활용됩니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
포아송분포를 만족하는 상황에서 재귀 알고리즘을 이용해 분포를 구하는 과정을 설명하는 문장입니다.
사고심도가 연속형이 아닌 이산형일 때 이 알고리즘의 계산상 장점을 언급하는 예문입니다.
조금 더 깊게 보면
판저 재귀공식은 사고빈도분포가 a와 b라는 두 상수로 표현되는 특정 관계식을 만족하는 소위 (a, b, 0) 분포족에 속할 때 적용할 수 있습니다. 포아송, 이항, 음이항분포가 대표적으로 이 조건을 만족하며, 사고심도가 이산적인 값을 가지도록 구간을 나눈 뒤 재귀식을 이용해 확률질량함수를 순차적으로 계산합니다. 판저 재귀식은 사고건수분포가 (a,b,0) 계열(포아송, 이항, 음이항분포 등)에 속할 때 총손실분포의 확률질량함수를 점화식 형태로 순차 계산할 수 있게 해주어, 몬테카를로 시뮬레이션보다 훨씬 빠른 정확한 수치해를 제공합니다.
주의할 점
판저 재귀공식은 사고빈도분포가 조건을 만족하지 않으면 그대로 적용할 수 없으며, 연속형 사고심도분포를 다룰 때는 이산화 과정에서 오차가 발생할 수 있습니다.
사고건수분포가 (a,b,0) 계열에 속하지 않는 경우에는 이 재귀식을 그대로 적용할 수 없다는 제약이 있습니다.