(a,b,0)분포족 ((a,b,0) Class Distribution)
쉽게 풀면
사고 건수를 셀 때 쓰는 여러 확률분포들 중에는 "몇 건이 일어날 확률"과 "그보다 한 건 더 일어날 확률"의 비율이 간단한 수식(a+b/k)으로 딱 맞아떨어지는 것들이 있습니다. 이런 분포들을 한데 묶어 부르는 이름이 (a,b,0)분포족입니다. 대표적으로 포아송분포, 이항분포, 음이항분포가 여기에 속합니다. 이 재귀식 덕분에 계산이 간단해지고, 여러 계약의 사고 건수를 합산하는 집합모형을 만들 때 다루기가 훨씬 쉬워집니다.
왜 중요한가
계리학에서 총손해액을 계산할 때는 사고 건수 분포와 개별 손해액 분포를 결합해야 하는데, (a,b,0)분포족에 속하는 분포를 쓰면 재귀적으로 확률을 빠르게 계산할 수 있는 판제르-히크만(Panjer) 재귀공식을 적용할 수 있습니다. 이 때문에 실무에서 사고건수모형을 선택할 때 이 분포족에 속하는지 여부가 중요한 기준이 됩니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
이 분포족의 성질을 이용해 계산을 단순화하는 전형적인 활용 예문입니다.
세 분포가 같은 재귀식 구조를 공유한다는 점을 활용한 비교 연구의 예문입니다.
조금 더 깊게 보면
(a,b,0)분포족은 확률질량함수가 p(k) = (a + b/k)p(k-1) (k=1,2,3,...)이라는 재귀관계를 만족하는 분포들의 집합으로 정의됩니다. a와 b의 값에 따라 포아송분포(a=0), 이항분포(a<0), 음이항분포(a>0)로 나뉘며, 이 구조는 Panjer 재귀공식의 이론적 기반이 되어 사고건수와 개별손해액을 결합한 총손해분포를 효율적으로 계산할 수 있게 해줍니다.
주의할 점
실제 사고 데이터가 이 세 분포 중 하나로 딱 맞아떨어지지 않는 경우도 많으며, 특히 0건 사고가 지나치게 많거나 적은 경우에는 영변형분포나 (a,b,1)분포족처럼 확장된 형태를 고려해야 합니다.