영변형분포 (Zero-Modified Distribution)
쉽게 풀면
포아송분포나 음이항분포 같은 표준 분포를 실제 사고 데이터에 맞춰보면, 사고가 전혀 없는 계약자의 비율이 이론적 예측보다 훨씬 많거나 적은 경우가 자주 있습니다. 영변형분포는 이런 상황에서 "사고 0건일 확률"만 원하는 값으로 바꾸고, 1건 이상 사고가 날 확률들은 원래 분포의 상대적 비율을 유지한 채 전체 확률의 합이 1이 되도록 다시 조정한 분포입니다. 즉 기본 뼈대는 그대로 두고 0건 확률만 따로 손보는 방식입니다.
왜 중요한가
보험 상품에 따라 무사고 계약자 비율이 표준 모형의 예측과 크게 다른 경우가 흔하기 때문에, 영변형분포는 실제 데이터에 더 잘 맞는 모형을 만드는 데 중요한 도구입니다. 특히 무사고 할인 제도가 있는 자동차보험처럼 0건 사고가 특별히 많이 몰리는 상품의 손해모형화에서 자주 활용됩니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
표준 분포가 무사고 비율을 잘 설명하지 못할 때 영변형분포로 보정하는 예문입니다.
영변형분포와 (a,b,1)분포족 사이의 이론적 관계를 설명하는 예문입니다.
조금 더 깊게 보면
영변형분포는 원래 분포의 0건 확률을 원하는 값 p0*로 대체하고, k≥1에 대한 확률은 (1-p0*)/(1-p0)를 곱해 재조정하는 방식으로 정의됩니다. 조정된 0건 확률이 원래보다 크면 영팽창(zero-inflated)이라 부르기도 하며, 반대로 0건 확률을 0으로 두어 사고 1건 이상만 다루는 특수한 형태를 절단분포(zero-truncated)라고 합니다. 영변형분포의 평균과 분산은 원래 분포의 그것과 다르게 재계산되어야 하며, 1 이상 사고건수의 확률에 곱해지는 조정 비율 (1-p0*)/(1-p0)이 1보다 작으면 0건 확률이 원래보다 커진 영팽창, 1보다 크면 0건 확률이 원래보다 줄어든 형태가 됩니다.
주의할 점
영변형분포는 0건 확률만 조정할 뿐 나머지 분포의 형태(감소율 등)는 그대로 유지하므로, 데이터에서 1건 이상 사고 건수의 패턴 자체가 기본 분포와 다르면 이 방법만으로는 충분히 설명되지 않을 수 있습니다. 영변형분포는 0건 확률 하나만 조정하는 모형이므로, 1건과 2건처럼 낮은 사고건수 구간에서도 자료와 괴리가 있다면 단순한 영변형만으로는 적합도를 충분히 개선하지 못할 수 있습니다.