(a,b,1)분포족 ((a,b,1) Class Distribution)
쉽게 풀면
(a,b,0)분포족은 사고 0건 확률부터 재귀식을 시작하지만, 실제 데이터에서는 사고가 전혀 없는 계약이 이론상 예측보다 훨씬 많거나 적은 경우가 흔합니다. 이런 상황을 다루기 위해 재귀식 시작점을 사고 1건부터로 미루고, 0건 확률은 별도로 자유롭게 정할 수 있도록 만든 것이 (a,b,1)분포족입니다. 쉽게 말해 "사고 0건일 확률"만 따로 조정할 수 있는 유연한 버전이라고 볼 수 있습니다.
왜 중요한가
실제 보험 데이터는 사고가 전혀 없는 계약자 비중이 표준 분포로 예측한 값과 다른 경우가 많아, 이를 그대로 (a,b,0)분포족으로 적합시키면 적합도가 떨어집니다. (a,b,1)분포족은 이런 초과영(zero-inflation)이나 부족영 현상을 반영할 수 있어 자동차보험처럼 무사고 계약자가 많은 상품의 사고건수모형화에 특히 유용합니다. 이 분포족은 영변형분포뿐 아니라 사고 0건을 아예 배제한 절단분포(zero-truncated distribution)까지 포괄할 수 있어, 사고건수 자료의 다양한 형태를 하나의 이론적 틀 안에서 다룰 수 있게 해줍니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
무사고 비중이 이례적으로 높은 데이터에 이 분포족을 적용한 예문입니다.
영변형분포와의 이론적 관계를 설명하는 예문입니다.
조금 더 깊게 보면
(a,b,1)분포족은 p(k) = (a + b/k)p(k-1)이 k=2부터 성립하며, p(0)과 p(1) 사이의 관계는 이 재귀식에 구속되지 않고 별도로 정할 수 있습니다. 이 구조 덕분에 영변형(zero-modified) 또는 영팽창(zero-inflated) 형태의 분포를 자연스럽게 포함할 수 있으며, Panjer류 재귀공식도 약간의 수정을 거쳐 적용할 수 있습니다. p(0)이 자유모수가 되면서 기존 (a,b,0)분포족의 모수(a,b)는 k=1 이상 구간의 확률들 사이의 상대적 형태(재귀식은 k=2부터 적용)만을 결정하게 되며, 이 때문에 동일한 a,b 값이라도 p(0)의 설정에 따라 전혀 다른 형태의 사고건수 분포가 만들어질 수 있습니다.
주의할 점
(a,b,1)분포족은 (a,b,0)분포족보다 모수가 하나 더 필요하므로, 데이터가 충분하지 않으면 과적합의 위험이 있습니다. 0건 확률을 자유롭게 조정하는 유연성이 항상 더 나은 적합을 보장하지는 않습니다.