전칭양화사 (Universal Quantifier)
쉽게 풀면
전칭양화사는 '모든 x에 대하여'라는 뜻을 나타내는 논리 기호(∀)이다. '∀x(x가 사람이면 x는 죽는다)'는 '모든 x에 대해, x가 사람이면 x는 죽는다', 즉 '모든 사람은 죽는다'는 뜻이 된다.
왜 중요한가
논의영역 내 모든 대상에 대해 어떤 성질이 성립함을 나타내는 전칭양화사로, 술어논리에서 '모든 x에 대해'라는 형식을 통해 보편적 주장을 정밀하게 표현하는 데 사용된다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
전칭 명제를 증명하기 위해, 논의 영역의 임의의 대상을 하나 골라 그 대상에 대해 명제가 성립함을 보이는 것으로 충분하다는 전칭양화사 증명의 표준적 방법을 설명한다.
이 문장은 전칭양화사로 표현된 명제가 반증에 취약한 강한 주장을 나타낸다는 점을 보여준다.
조금 더 깊게 보면
논의영역이 공집합인 경우 전칭명제는 자동으로 참이 되는 공허하게 참인 명제 문제가 발생할 수 있어, 논의영역의 설정이 전칭양화 명제의 실질적 의미 해석에 중요한 영향을 미친다. 전칭양화사가 붙은 명제를 증명하는 표준적 방법은 논의 영역에서 완전히 임의적인 대상 하나를 골라(고유명이 아닌 임의의 이름으로) 그 대상에 대해서만 명제가 성립함을 보인 뒤, 그 대상이 임의적이었으므로 모든 대상에 대해서도 성립한다고 일반화하는 절차를 따른다. 이 절차를 '전칭 일반화'라고 부르며, 증명 과정에서 선택된 대상에 특수한 성질을 부당하게 가정하지 않도록 각별히 주의해야 한다. 전칭양화사와 존재양화사는 드모르간의 법칙과 유사한 방식으로 서로의 부정을 통해 정의되므로, 하나의 양화사만 기본 기호로 채택하고 다른 하나는 정의로 도입하는 형식체계 구성도 가능하다.
주의할 점
전칭 명제 '모든 x는 P이다'는 논의 영역에 대상이 하나도 없을 경우 공허하게 참(vacuously true)이 될 수 있다는 논리적 특성에 유의해야 한다.
전칭 명제 '모든 x는 P이다'는 논의 영역에 대상이 하나도 없을 경우 공허하게 참(vacuously true)이 될 수 있다는 논리적 특성에 유의해야 하며, 이 특성 때문에 '모든 유니콘은 뿔이 셋이다'처럼 지시 대상이 없는 전칭 명제도 형식논리적으로는 참으로 처리된다는 점을 기억해야 한다.