대수의 법칙(보험) (Law of Large Numbers)
쉽게 풀면
동전을 몇 번만 던지면 앞뒤 비율이 들쭉날쭉하지만, 수만 번 던지면 50대 50에 가까워진다. 보험도 가입자가 많아질수록 실제 사고율이 예상 사고율에 가까워져서 보험료를 정확히 계산할 수 있게 된다.
왜 중요한가
개별 계약의 손해는 예측할 수 없지만 동질 위험을 충분히 모으면 집단의 손해율이 예측치에 수렴한다는 원리가 보험료 산정의 통계적 근거이며, 보험이 도박과 다른 이유를 설명하는 핵심 논리입니다. 요율 산정에서 필요한 최소 계약 수와 신뢰도 판단은 이 원리의 정량적 적용입니다. 보험회사가 신규 상품을 출시할 때 초기 계약 건수가 충분히 확보되기 전까지는 손해율 변동성이 크게 나타나는 것도 이 원리로 설명되며, 이 때문에 재보험을 통해 초기 위험을 분산하는 경우가 많다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
베르누이는 독립시행의 반복 횟수가 증가할수록 표본비율이 참된 확률로 수렴한다는 것을 최초로 수학적으로 증명하였으며, 이 정리는 이후 보험수리학에서 위험집단의 크기와 예정위험률 산정의 이론적 기반이 되었다.
이러한 결과는 대수의 법칙이 단순한 이론적 명제가 아니라, 보험사가 충분한 규모의 계약을 인수해야 안정적으로 운영될 수 있는 실무적 근거임을 보여준다.
조금 더 깊게 보면
대수의 법칙은 개별 위험이 서로 독립이고 동일 분포일 때 성립하므로, 계약 간 상관이 높은 대재해위험에서는 계약을 아무리 모아도 손해가 예측치에 수렴하지 않습니다. 수렴하는 것은 평균 손해율이지 총 손해액의 변동은 계약 수가 늘면 함께 커지므로, 계약을 많이 모으면 위험이 사라진다는 이해는 틀렸습니다. 예측치 자체가 틀린 가정 위에 있으면 수렴해도 틀린 값으로 수렴하므로 대수의 법칙은 가정 오류를 보정하지 못합니다. 수렴하는 것은 평균 손해율이며 총 손해액의 변동폭은 계약 수가 늘어도 함께 커질 수 있어, 계약을 많이 모으면 위험 자체가 사라진다는 식의 이해는 오류다. 예정위험률 추정치 자체가 편향되어 있다면 계약이 아무리 많아도 그 편향된 값으로 수렴할 뿐이다.
주의할 점
대수의 법칙은 위험이 서로 독립적이고 동질적일 때 성립하므로, 지진이나 팬데믹처럼 손해가 동시다발적으로 상관되어 발생하는 위험에는 그대로 적용하기 어렵다.