곱지수 공식 (Product of Exponentials Formula)
한 줄 정의: 각 관절의 나선 운동을 행렬 지수로 표현해 곱함으로써 로봇의 정기구학을 구하는 방법입니다.
쉽게 풀면
로봇 팔의 각 관절은 어떤 축을 중심으로 돌거나 미끄러지는데, 이 움직임을 나선(스크류) 운동 하나로 적을 수 있습니다. 곱지수 공식은 관절마다 이 나선 운동을 행렬 지수 형태로 만든 뒤 차례로 곱해, 말단이 어디에 있는지를 계산합니다. 링크마다 좌표계를 따로 붙일 필요 없이 기준 좌표계 하나와 초기 자세만 있으면 됩니다.
왜 중요한가
데나비트-하텐버그 매개변수와 함께 정기구학을 세우는 대표적인 두 방법 중 하나이며, 최근 교과서와 논문에서 널리 쓰입니다. 좌표계 배치 규칙에 덜 얽매여 기구학 보정과 야코비안 유도가 깔끔해진다는 장점이 있습니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"정기구학은 곱지수 공식으로 모델링하였으며, 각 관절의 스크류 축은 영점 자세에서 기준 좌표계로 표현하였다."
기구학 모델링 방식을 밝히는 문장입니다.
조금 더 깊게 보면
곱지수 공식은 강체 운동을 리 군 SE(3)와 그 리 대수 se(3)로 다루는 기하학적 틀에 바탕을 둡니다. 관절 i의 스크류 축을 S_i, 관절 변수를 θ_i라 하면 말단 자세는 exp([S_1]θ_1)…exp([S_n]θ_n)M 꼴이 되며, M은 모든 관절이 0일 때의 말단 자세입니다. 이 표현은 공간 야코비안과 물체 야코비안을 체계적으로 유도하게 해 줍니다. 또 매개변수가 관절 배치에 연속적으로 변하므로, D-H 표기에서 평행에 가까운 관절 축 근처에 생기는 매개변수 문제를 피할 수 있어 로봇 보정에서 선호되기도 합니다.
주의할 점
데나비트-하텐버그 매개변수와 목적은 같지만 링크별 좌표계를 두지 않는다는 점이 다릅니다. 두 방법의 매개변수 개수와 정의가 달라 서로 그대로 바꿔 쓸 수 없습니다.