과산포 (Overdispersion)

한 줄 정의: 계수자료의 실제 분산이 가정한 분포의 분산보다 훨씬 큰 현상입니다.

쉽게 풀면

포아송 분포는 평균과 분산이 같다고 가정합니다. 그런데 실제 자료는 사고 건수나 질병 발생처럼 몇몇 개체에 사건이 몰려 분산이 평균보다 훨씬 큰 경우가 많습니다. 이렇게 가정보다 자료가 더 흩어져 있는 상태를 과산포라고 합니다.

왜 중요한가

과산포를 무시하면 표준오차가 과소추정되어 실제보다 유의한 결과가 쉽게 나옵니다. 계수자료를 다루는 논문에서 과산포 점검과 대응은 분석의 타당성을 판단하는 기본 기준으로 요구됩니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

"포아송 회귀의 이탈도 대 자유도 비가 3.4로 과산포가 확인되어 음이항 회귀로 재분석하였다."

평균 대비 분산이 과도하게 커서 포아송 가정이 깨졌음을 진단하고 대안 모형을 썼다는 뜻입니다.

조금 더 깊게 보면

과산포는 이탈도나 피어슨 카이제곱 통계량을 자유도로 나눈 값이 1보다 뚜렷하게 클 때 의심합니다. 원인은 관측되지 않은 이질성, 사건의 군집 발생, 0의 과잉 등 다양합니다. 대응 방법으로는 산포모수를 추가한 음이항 회귀, 준우도로 표준오차만 부풀리는 방법, 개체별 임의효과를 넣는 방법이 있으며 원인에 따라 선택이 달라집니다. 반대로 분산이 평균보다 작은 과소산포도 드물게 나타납니다.

주의할 점

과산포는 "자료가 가정보다 흩어져 있다"는 진단이지 특정 모형의 이름이 아닙니다. 영과잉모형은 과산포의 한 원인인 0 과잉을 다루는 모형일 뿐이므로, 0이 많지 않은데 산포가 큰 경우에는 음이항 계열이 더 적절합니다.