일반화선형모형 (Generalized Linear Model)

한 줄 정의: 종속변수가 정규분포를 따르지 않는 경우(개수, 비율, 이진 결과 등)에도 회귀분석의 틀을 적용할 수 있도록 연결함수를 통해 확장한 통계 모형입니다.

쉽게 풀면

일반적인 회귀분석은 "키가 클수록 몸무게가 는다"처럼 결과값이 연속적이고 대체로 정규분포를 따를 때 잘 작동합니다. 그런데 "하루에 사고가 몇 번 났는가"(개수), "합격했는가 아닌가"(이진 결과)처럼 결과값의 성격이 다르면 일반 회귀분석의 가정이 깨집니다. 일반화선형모형(GLM)은 이럴 때 "연결함수(link function)"라는 다리를 하나 놓아서, 결과값의 실제 분포(포아송분포, 이항분포 등)에 맞게 회귀분석의 아이디어를 확장한 것입니다. 로지스틱 회귀도 사실 종속변수가 이진일 때 쓰는 GLM의 한 종류입니다.

왜 중요한가

실제 연구 데이터는 정규분포를 따르는 연속형 변수보다 개수, 비율, 이진 결과처럼 다른 분포를 따르는 경우가 훨씬 많습니다. 의학·역학 연구의 발병 여부, 사회과학의 설문 응답, 생태학의 개체 수 조사 등 거의 모든 분야에서 GLM은 회귀분석의 아이디어를 실제 데이터 형태에 맞게 적용하는 표준 도구로 쓰입니다. 그래서 로지스틱 회귀, 포아송 회귀 등 논문에 흔히 등장하는 여러 기법이 사실상 GLM의 특수한 형태이며, GLM을 이해하면 이런 기법들을 하나의 틀로 묶어 볼 수 있습니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

"응급실 방문 횟수(count data)를 종속변수로 하여 포아송 분포를 가정한 일반화선형모형을 적합하였다."

이 문장은 방문 "횟수"라는 개수 데이터의 특성에 맞는 분포를 골라, 일반 회귀분석 대신 GLM을 사용해 분석했다는 뜻입니다.

"환자의 재입원 여부를 이항분포로, 로짓 연결함수를 사용한 일반화선형모형으로 예측하였다."

이진 결과(재입원 여부)를 다루기 위해 이항분포와 로짓 연결함수를 선택한 사례로, 이는 로지스틱 회귀와 동일한 GLM의 한 형태입니다.

"설문 응답 비율 데이터에 감마분포 기반의 일반화선형모형을 적용하여 요인별 영향을 분석하였다."

비율이나 양수로만 이루어진 연속형 데이터처럼 정규분포 가정이 맞지 않는 경우에도, 적절한 분포를 선택해 GLM 틀 안에서 분석할 수 있음을 보여줍니다.

조금 더 깊게 보면

GLM은 크게 세 요소로 구성됩니다. 종속변수가 따르는 확률분포(지수족, exponential family), 예측변수들의 선형결합인 선형예측자(linear predictor), 그리고 이 둘을 연결하는 연결함수(link function)입니다. 논문에서 모형의 적합도를 볼 때는 일반 회귀의 결정계수 대신 이탈도(deviance)나 정보기준을 참고하는 경우가 많으므로, 이런 지표들이 등장하면 GLM 맥락임을 짐작할 수 있습니다.

주의할 점

GLM은 종속변수의 분포와 그에 맞는 연결함수를 연구자가 직접 선택해야 하며, 잘못된 분포를 가정하면 최대우도추정 결과 자체가 왜곡될 수 있습니다. 또한 반복측정처럼 관측치들이 서로 독립적이지 않은 자료라면 GLM만으로는 부족하며, 혼합효과모형과 결합한 일반화선형혼합모형(GLMM)을 고려해야 합니다.