호몰로지 (Homology)

한 줄 정의: 공간에 뚫린 각 차원의 구멍을 가환군으로 세어 내는 위상 불변량입니다.

쉽게 풀면

도형에는 여러 차원의 구멍이 있습니다. 도넛의 가운데 구멍처럼 고리로 감싸지는 구멍도 있고, 속이 빈 공처럼 면으로 감싸지는 구멍도 있습니다. 호몰로지는 이런 구멍을 차원별로 세어 각각을 하나의 가환군으로 나타냅니다. 경계가 없으면서 무언가의 경계도 아닌 부분을 찾아내는 방식으로 정의됩니다.

왜 중요한가

기본군과 달리 항상 가환군이라 계산이 쉽고 컴퓨터로도 다룰 수 있어, 위상수학의 실질적 계산 도구로 널리 쓰입니다. 최근에는 데이터 분포의 모양을 분석하는 위상적 데이터 분석에서 지속 호몰로지 형태로 활용되어 응용 분야가 크게 넓어졌습니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

"점구름 자료에 지속 호몰로지를 적용하여 임계 척도에서 나타나는 1차원 구멍을 식별하였다."

조금 더 깊게 보면

공간을 삼각형이나 단체로 분할한 뒤, 각 차원의 조각들이 만드는 사슬군과 그 경계를 보내는 경계사상을 정의합니다. 경계사상을 두 번 적용하면 항상 0이 되므로, 경계가 0인 순환에서 실제 경계인 부분을 몫으로 나눈 것이 호몰로지군이 됩니다. 각 차원의 호몰로지 계수를 베티 수라 하고, 이를 교대합으로 더한 값이 오일러 지표여서 오일러의 다면체 공식을 일반화합니다.

주의할 점

호몰로지가 같다고 두 공간이 같은 것은 아니며, 서로 다른 공간이 같은 호몰로지를 가질 수 있습니다. 생물학의 상동성이나 유전자 호몰로지와는 무관한 개념입니다.