미분형식 (Differential Form)

한 줄 정의: 적분의 대상이 되는 양을 좌표에 의존하지 않게 표현하는 대수적 도구입니다.

쉽게 풀면

선적분에서 쓰는 dx, 면적분에서 쓰는 dx dy 같은 표현을 그 자체로 하나의 수학적 대상으로 삼은 것이 미분형식입니다. 차수가 0이면 함수, 1이면 곡선을 따라 적분하는 양, 2면 면 위에서 적분하는 양이 됩니다. 이들 사이에는 외미분이라는 연산이 있어 차수를 하나씩 올립니다.

왜 중요한가

미분형식을 쓰면 그린 정리, 발산정리, 스토크스 정리가 모두 형식의 외미분을 영역에서 적분한 값이 그 형식을 경계에서 적분한 값과 같다는 하나의 일반 스토크스 정리로 통합됩니다. 미분기하, 일반상대성이론, 위상수학 논문에서 좌표에 의존하지 않는 서술을 하기 위한 표준 언어입니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

"해당 양을 미분형식으로 표현하여 좌표계 선택과 무관한 형태로 보존 법칙을 기술하였다."

조금 더 깊게 보면

미분형식들은 쐐기곱이라는 반대칭 곱셈으로 결합되며, 순서를 바꾸면 부호가 바뀌는 성질이 방향과 부호 규약을 자동으로 처리해 줍니다. 외미분을 두 번 적용하면 항상 0이 되는데, 이 단순한 성질이 회전의 발산이 0이고 그래디언트의 회전이 0이라는 벡터 항등식을 한꺼번에 설명합니다. 닫힌 형식과 완전 형식의 차이를 재는 드람 코호몰로지는 호몰로지와 짝을 이루어 공간의 구멍을 대수적으로 포착합니다.

주의할 점

미분형식의 dx는 무한소를 뜻하는 비형식적 기호가 아니라 엄밀하게 정의된 대상이라는 점에서 초급 미적분의 표기와 구별됩니다. 또 벡터장과 1형식은 유클리드 좌표에서 성분이 같아 보여도 좌표변환 규칙이 달라 서로 다른 대상입니다.