다양체 (Manifold)
쉽게 풀면
지구는 둥근 구 모양이지만, 우리가 동네를 걸어다닐 때는 땅이 평평하다고 느낍니다. 실제로 지도를 만들 때도 좁은 지역은 평면 지도로 충분히 정확하게 표현할 수 있습니다. 다양체란 바로 이런 성질을 가진 공간을 수학적으로 정의한 것입니다. 전체 모양은 구처럼 휘어 있거나 도넛처럼 구멍이 뚫려 있는 등 복잡할 수 있지만, 어느 한 점 주변만 확대해서 보면 우리에게 익숙한 평평한 유클리드 공간과 똑같이 취급할 수 있습니다. 이 덕분에 복잡한 곡면이나 고차원 공간에서도 미적분학의 도구들을 국소적으로 그대로 적용할 수 있게 됩니다.
왜 중요한가
다양체 개념은 곡면이나 고차원 공간에서도 미적분학과 기하학의 도구를 국소적으로 그대로 적용할 수 있게 해주기 때문에 순수수학뿐 아니라 물리학, 로보틱스, 머신러닝 등 다양한 응용 분야의 이론적 토대가 됩니다. 일반상대성이론에서 시공간을 다양체로 다루는 것부터, 딥러닝에서 고차원 데이터가 저차원 다양체 위에 놓여 있다고 가정하는 표현 학습에 이르기까지 폭넓게 쓰입니다. 이 때문에 서로 다른 분야의 논문이라도 "다양체"라는 공통 언어로 문제를 정식화하는 경우가 많습니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
이 문장은 겉보기에는 변수가 매우 많은 복잡한 데이터라도, 실제로는 그보다 훨씬 적은 자유도를 가진 휘어진 저차원 공간(다양체) 위에 놓여 있을 것이라 가정했다는 뜻입니다. 이런 "다양체 가설"은 이미지나 음성처럼 고차원인 데이터를 다루는 머신러닝 분야에서 차원 축소와 표현 학습의 이론적 배경으로 자주 인용됩니다.
이론물리학 논문에서 시공간의 기하학적 구조를 정의할 때 사용되는 표준적인 서술이다.
로보틱스·제어이론 논문에서 시스템의 상태공간을 기하학적으로 표현할 때 쓰이는 표현이다.
조금 더 깊게 보면
다양체 위에서 거리나 미분 같은 개념을 다루려면 각 점 주변의 국소 좌표계를 매끄럽게 이어붙이는 좌표 전환(chart transition)이 잘 정의되어야 하며, 여기에 계량(metric)을 추가로 부여하면 리만 다양체가 되어 곡률이나 측지선 같은 개념을 다룰 수 있습니다. 머신러닝에서는 실제 다양체의 명시적 형태를 알 수 없는 경우가 대부분이라, t-SNE나 UMAP처럼 이웃 관계를 보존하며 저차원으로 근사하는 다양체 학습 기법이 활용됩니다.
주의할 점
다양체는 "국소적으로" 평평하다는 것이지, 전체적으로 평평하다는 뜻이 아닙니다. 예를 들어 구 표면은 다양체이지만 전체적으로는 곡률을 가지고 있어 평면과 같지 않습니다. 다양체 위에서 두 점 사이의 최단 경로를 구할 때는 직선이 아니라 측지선 개념을 사용해야 합니다.