호모토피 (Homotopy)

한 줄 정의: 한 연속사상을 다른 연속사상으로 끊김 없이 이어서 변형하는 관계입니다.

쉽게 풀면

두 개의 연속함수가 있을 때, 하나를 조금씩 연속적으로 움직여 다른 하나로 만들 수 있으면 두 함수는 호모토픽하다고 말합니다. 고무줄로 만든 곡선을 자르거나 붙이지 않고 늘이고 구부려 다른 곡선으로 옮기는 것을 떠올리면 됩니다. 이 변형을 매개하는 것이 시간처럼 작동하는 추가 변수입니다.

왜 중요한가

공간을 정확한 모양이 아니라 연속적 변형까지 무시한 수준에서 분류할 수 있게 해 주어, 대수적 위상수학의 출발점이 됩니다. 구멍의 개수처럼 변형에 견디는 성질을 찾는 것이 위상수학 연구의 핵심이며, 물리학의 위상적 결함이나 데이터 과학의 위상적 데이터 분석도 이 개념을 사용합니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

"해당 사상이 상수사상과 호모토픽함을 보여 그 공간이 단순연결임을 증명하였다."

조금 더 깊게 보면

호모토피는 사상들 사이의 동치관계이며, 공간 자체에 대해서도 서로를 연속적으로 변형해 옮길 수 있으면 호모토피 동치라고 합니다. 호모토피 동치는 위상동형사상보다 약한 관계여서, 원판과 한 점처럼 차원이 달라도 호모토피 동치일 수 있습니다. 어떤 공간의 모든 폐곡선이 한 점으로 줄어들면 단순연결이라 하고, 이는 기본군이 자명하다는 말과 같습니다.

주의할 점

호모토피 동치와 위상동형은 다릅니다. 위상동형이면 항상 호모토피 동치이지만 그 역은 성립하지 않으므로, 호모토피만으로 두 공간이 같다고 결론지으면 안 됩니다.