기본군 (Fundamental Group)

한 줄 정의: 한 점에서 출발해 돌아오는 고리들을 변형 관계로 모아 만든 군입니다.

쉽게 풀면

공간 안의 한 점을 정해 두고, 그 점에서 출발해 다시 그 점으로 돌아오는 폐곡선들을 모읍니다. 연속적으로 변형해 서로 옮길 수 있는 폐곡선을 같은 것으로 보고, 두 폐곡선을 이어 붙이는 것을 연산으로 삼으면 군이 만들어집니다. 이것이 기본군이며, 공간에 뚫린 구멍을 대수적으로 감지합니다.

왜 중요한가

공간의 모양을 군이라는 대수적 대상으로 번역해 주기 때문에, 계산 가능한 방법으로 두 공간이 다르다는 것을 증명할 수 있습니다. 원과 원판이 위상동형이 아니라는 사실처럼 직관적으로는 분명하지만 엄밀히 보이기 어려운 명제가 기본군 계산으로 바로 해결됩니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

"해당 공간의 기본군이 정수군과 동형임을 계산하여 구멍이 하나 존재함을 확인하였다."

조금 더 깊게 보면

원의 기본군은 정수의 덧셈군과 동형이며, 폐곡선이 원을 몇 바퀴 감았는지를 세는 감김수가 그 동형사상을 줍니다. 공간을 조각으로 나누어 기본군을 계산하는 도구가 자이페르트-판 캄펀 정리이며, 덮개공간 이론은 부분군과 덮개 사이의 대응을 통해 계산을 크게 돕습니다. 기본군은 일반적으로 가환이 아니라는 점에서 가환군으로 나오는 호몰로지보다 정보가 많지만 계산이 어렵습니다.

주의할 점

경로연결이 아닌 공간에서는 기준점에 따라 기본군이 달라질 수 있으므로 기준점을 명시해야 합니다. 또 기본군이 같다고 해서 두 공간이 위상동형인 것은 아닙니다.