위상공간 (Topological Space)
쉽게 풀면
위상공간은 '가깝다', '연속적이다' 같은 개념을 아주 일반적인 방식으로 정의하기 위한 틀이다. 거리를 구체적인 숫자로 재지 않고도, 어떤 점들이 서로 '가까운 이웃'인지를 열린 집합이라는 개념으로 정해두는 것이다. 이렇게 하면 거리라는 개념이 없는 훨씬 추상적인 공간에서도 연속함수나 극한 같은 개념을 다룰 수 있게 된다.
왜 중요한가
위상공간은 연속성, 수렴, 콤팩트성 같은 해석학·기하학의 핵심 개념을 거리라는 구체적인 도구 없이도 다룰 수 있게 해주는 가장 일반적인 틀이기 때문에, 위상수학뿐 아니라 함수해석학, 대수기하학, 미분기하학 등 수학 전반의 언어로 쓰입니다. 물리학의 위상 물질 이론이나 데이터과학의 위상 데이터 분석처럼, 다른 분야에서 '위상학적'이라는 표현이 쓰일 때도 그 밑바탕에는 이 개념이 깔려 있습니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
위상공간의 개념은 다양체나 함수공간처럼 거리 개념이 자연스럽지 않은 대상을 엄밀하게 다룰 때 기초가 된다.
함수해석학 논문에서 서로 다른 위상을 같은 집합에 부여해 수렴성 등 성질이 어떻게 달라지는지 비교하는 전형적인 서술입니다.
대수기하학에서는 익숙한 유클리드 위상 대신 자리스키 위상처럼 특수하게 정의된 위상을 사용하는 경우가 많음을 보여주는 예시입니다.
조금 더 깊게 보면
같은 집합이라도 어떤 열린 집합들의 모임을 선택하느냐에 따라 서로 다른 위상공간이 만들어지며, 이 선택에 따라 수렴하는 수열의 범위나 콤팩트성 여부가 달라집니다. 대표적으로 거리로부터 유도되는 거리위상 외에도, 함수공간에서 자주 쓰이는 약한 위상, 대수기하학의 자리스키 위상처럼 거리와 무관하게 정의되는 위상들이 있습니다. 두 위상공간 사이의 구조를 보존하는 사상이 연속함수이며, 양방향으로 연속인 전단사 사상(위상동형사상)이 존재하면 두 공간은 위상적으로 같다고 봅니다.
주의할 점
위상공간은 거리공간보다 훨씬 일반적인 개념이며, 모든 위상공간에 거리가 자연스럽게 정의되는 것은 아니다.