이항옵션가격결정모형 (Binomial Option Pricing Model)
쉽게 풀면
자산 가격이 매번 오르거나 내리는 두 갈래 길로만 움직인다고 단순화해서, 옵션의 가치를 나뭇가지처럼 단계별로 거슬러 계산하는 방법이다.
왜 중요한가
이항 옵션가격 모형은 기초자산 가격이 매 기간 두 갈래로 움직인다고 가정하고 무위험 복제 포트폴리오로 옵션 가치를 거꾸로 구하는 방법으로, 위험중립 평가의 논리를 가장 직관적으로 보여줍니다. 조기행사가 가능한 미국식 옵션이나 배당이 있는 경우처럼 닫힌 해가 없는 상황에서 실무적으로 널리 쓰이는 수치기법입니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
이들은 위험중립확률 개념을 이용해 실제 확률이 아닌 무차익거래 조건에서 도출된 확률로 기대현금흐름을 할인함으로써 투자자의 위험선호와 무관하게 옵션가격을 계산할 수 있음을 보였다.
계산 단계를 잘게 나눌수록 이 모형의 결과가 연속적인 시간을 가정하는 다른 모형의 값에 점점 가까워진다는 뜻이다.
조금 더 깊게 보면
기간 수를 늘리면 블랙-숄즈 모형 가격에 수렴하지만, 수렴이 진동하는 형태여서 홀수·짝수 기간 평균을 취하는 등의 보정이 쓰입니다. 상승·하락 폭과 확률을 정하는 방식이 여러 가지(CRR, Jarrow-Rudd 등)이며 유한 기간에서는 결과가 다소 다릅니다. 옵션 가치가 실제 상승 확률과 무관하게 결정된다는 결론이 처음에는 반직관적이지만, 이는 복제가 가능하다는 가정에서 나온 것입니다. 이항모형은 시간구간을 매우 잘게 나누어 무한히 반복하면 블랙-숄즈 모형의 연속시간 해로 수렴한다는 점이 증명되어 있으며, 조기행사가 가능한 미국형옵션처럼 닫힌 해가 존재하지 않는 상품의 가치평가에 특히 유용하다는 장점이 있다.
주의할 점
이항모형은 미국형 옵션처럼 조기행사가 가능한 옵션의 평가에도 활용될 수 있다는 점에서 폐쇄형 해만 존재하는 블랙숄즈모형과 실무적 차이가 있다. 이항모형의 정확도는 기간을 나누는 스텝 수를 늘릴수록 대체로 높아지지만(오차는 대략 스텝 수에 반비례해 줄어든다) 계산량도 함께 늘어나므로, 실무에서는 요구되는 정확도와 계산속도 사이의 균형을 고려해 적절한 스텝 수를 선택해야 한다.