우울하우스 공식 (Woolhouse's Formula)
한 줄 정의: 연 1회 지급 연금의 계리현가로부터 연 m회 지급 연금의 현가를 근사하는 공식입니다.
쉽게 풀면
생명표는 보통 1년 단위로 만들어지지만, 실제 연금은 매달 또는 분기마다 지급됩니다. 우울하우스 공식은 1년에 한 번 주는 연금의 값을 알고 있을 때, 같은 조건으로 1년에 m번 나눠 주는 연금의 값을 계산해 주는 근사식입니다. 지급 횟수가 늘어난 만큼 앞당겨 받는 효과를 보정항으로 반영합니다. 보정항에는 이자율과 사력이 들어갑니다.
왜 중요한가
월납 연금과 월납 보험료가 실무의 표준인데도 생명표는 연 단위여서, 이 공식은 계리 실무와 교재 양쪽에서 필수적으로 쓰입니다. 국제 계리시험과 생명보험수리 논문에서 분할지급 연금을 다룰 때 표준 도구로 등장합니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"월납 종신연금의 계리현가를 우울하우스 공식의 3항 근사로 산출하고 정확값과 비교하여 오차를 제시하였다."
연 단위 값에 보정항을 더해 월 단위 연금의 현재가치를 구한 뒤, 정밀 계산 결과와 얼마나 차이 나는지 확인했다는 뜻입니다.
조금 더 깊게 보면
공식은 오일러-매클로린 전개에서 유도되며, 1차 보정항은 지급 횟수에 의존하는 상수, 2차 보정항은 이력과 사력의 합에 비례하는 항으로 나타납니다. 2항까지만 쓰면 오차가 눈에 띄고 3항까지 쓰면 실무 정확도에 충분한 것이 보통입니다. 사력을 직접 알기 어려울 때는 인접 연령 사망률로 근사해 대입합니다.
주의할 점
우울하우스 공식은 근사식이므로, 1년 안의 사망 분포를 명시적으로 가정해 계산하는 사망균등분포가정 방식과 결과가 정확히 일치하지 않습니다. 고령 구간처럼 사력이 빠르게 변하는 영역에서는 오차가 커질 수 있습니다.