다변량정규분포 (Multivariate Normal Distribution)
쉽게 풀면
일반적인 정규분포는 키나 시험 점수처럼 변수 "하나"가 어떻게 퍼져 있는지를 종 모양 곡선 하나로 보여줍니다. 그런데 현실의 데이터는 변수가 하나만 있는 경우가 드뭅니다. 예를 들어 키와 몸무게처럼 서로 관련이 있는 두 변수를 동시에 살펴보고 싶을 때는 어떻게 할까요? 다변량정규분포는 이럴 때 쓰는 도구로, 각 변수가 개별적으로 정규분포를 따를 뿐 아니라 변수들끼리 "함께 움직이는 정도(공분산)"까지 한 번에 담아냅니다. 그래프로 그리면 2차원의 경우 종 모양이 아니라 산봉우리처럼 생긴 곡면이 되는데, 봉우리가 원형이면 두 변수가 서로 관련이 없다는 뜻이고, 타원형으로 기울어져 있으면 두 변수가 상관관계를 가진다는 뜻입니다.
왜 중요한가
다변량정규분포는 MANOVA, 요인분석, 구조방정식모형, 다변량 회귀분석 등 여러 변수를 동시에 다루는 통계기법 대부분이 전제로 삼는 기본 가정이기 때문에, 이 가정이 성립하는지를 확인하는 절차가 수많은 논문의 분석 방법 섹션에 등장합니다. 또한 금융공학에서 여러 자산의 수익률 관계를 모형화하거나, 유전학에서 여러 형질 간의 유전적 상관을 분석하는 등 변수 간 상호관계를 확률적으로 표현해야 하는 다양한 분야에서 이론적 토대로 쓰입니다. 이 개념을 이해하면 다변량 통계기법 전반의 가정과 한계를 더 정확히 파악할 수 있습니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
이 문장은 인지검사 점수 세 가지를 따로따로 보지 않고, 서로 얼마나 연관되어 있는지(공분산행렬)까지 포함해서 한꺼번에 확률적으로 모형화했다는 뜻입니다. 다변량 분산분석이나 다변량 회귀분석 같은 방법들은 대부분 이 가정을 전제로 계산됩니다.
이 문장은 금융 자산의 수익률처럼 서로 영향을 주고받는 여러 변수를 함께 고려해 전체 위험을 계산하는 데 다변량정규분포 가정이 쓰인다는 것을 보여줍니다. 이는 현대 포트폴리오 이론의 기본 가정 중 하나입니다.
이 문장은 여러 신체 형질이 함께 유전되는 정도를 통계적으로 분리해내는 행동유전학·양적유전학 연구에서 다변량정규분포가 이론적 기반으로 쓰인다는 것을 보여줍니다.
조금 더 깊게 보면
다변량정규성을 실제로 검증할 때는 개별 변수 각각의 정규성만 확인해서는 부족하며, Mardia의 다변량 왜도·첨도 검정처럼 변수들의 결합분포 전체가 정규성을 만족하는지를 살펴보는 방법이 함께 쓰입니다. 다변량정규분포에서는 두 변수 간 관계가 전혀 없을 때(공분산이 0일 때)만 두 변수가 서로 통계적으로 독립이라는 특수한 성질이 성립하는데, 이는 일반적인 분포에서는 항상 성립하지 않는 이 분포만의 중요한 특징입니다. 또한 표본크기가 충분히 크면 중심극한정리에 의해 여러 변수의 평균벡터가 근사적으로 다변량정규분포를 따르게 되므로, 대표본에서는 이 가정이 어느 정도 완화되어 적용되기도 합니다.
주의할 점
변수 하나하나가 각각 정규분포를 따른다고 해서, 그 변수들을 묶었을 때 자동으로 다변량정규분포가 되는 것은 아닙니다. 변수들 사이의 관계(공분산 구조)까지 정규성 조건을 만족해야 하므로, 실제 분석 전에는 샤피로-윌크 검정 등으로 개별 정규성을 확인하는 것만으로는 충분하지 않을 수 있습니다.