정규분포 (Normal Distribution)

한 줄 정의: 평균을 중심으로 좌우 대칭인 종 모양 확률분포.

쉽게 풀면

성인 남성의 키를 아주 많이 조사해서 그래프로 그리면, 170cm 근처에 사람이 가장 많이 몰려 있고 너무 작거나 너무 큰 키는 양쪽 끝으로 갈수록 점점 줄어드는 종 모양이 나타납니다. 이것이 정규분포입니다. 시험 점수, 키, 몸무게처럼 자연스럽게 생기는 많은 데이터가 이런 모양을 따르는 경향이 있어서, 통계학에서는 "평균적인 것은 많고 극단적인 것은 적다"는 이 패턴을 여러 분석의 기본 가정으로 삼습니다.

왜 중요한가

정규분포는 t검정, ANOVA, 회귀분석 등 대부분의 모수통계 기법이 전제하는 기본 가정이기 때문에, 데이터가 정규분포를 따르는지 확인하는 절차는 거의 모든 정량 연구 논문의 분석 방법에서 빠지지 않고 등장합니다. 또한 중심극한정리를 통해 표본 크기가 커질수록 표본평균의 분포가 정규분포에 가까워진다는 성질은 통계적 추론 전반의 이론적 토대가 됩니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

"Shapiro-Wilk 검정 결과 데이터가 정규분포를 따르는 것으로 확인되어 모수적 검정을 사용하였다."

데이터가 종 모양 분포를 따른다는 것이 확인되었으므로, 평균과 표준편차를 활용하는 일반적인 통계 검정을 사용해도 된다는 뜻입니다.

"측정 오차는 평균 0을 중심으로 하는 정규분포를 따른다고 가정하고 회귀모형의 잔차 분석을 실시하였다."

회귀분석에서 오차항의 정규성 가정을 명시적으로 전제하고 있음을 보여준다.

"코호트 내 혈압 측정치의 분포는 히스토그램과 Q-Q 플롯을 통해 정규성에 근접함을 시각적으로 확인하였다."

통계 검정 외에 그래프를 이용해 정규성을 시각적으로 점검한 사례다.

조금 더 깊게 보면

정규성 검정에는 Shapiro-Wilk, Kolmogorov-Smirnov 등 다양한 방법이 있으며, 표본 크기가 매우 클 경우 미세한 편차에도 검정이 유의하게 나올 수 있어 히스토그램이나 Q-Q 플롯 같은 시각적 방법을 함께 활용하는 경우가 많습니다. 정규분포는 평균과 표준편차라는 두 모수만으로 전체 분포 모양이 완전히 결정되는 특징이 있으며, 이 성질 덕분에 왜도(비대칭성)와 첨도(뾰족한 정도)가 모두 0에 가까울수록 이상적인 정규분포에 가깝다고 판단합니다.

주의할 점

모든 데이터가 정규분포를 따르는 것은 아닙니다. 소득처럼 한쪽으로 치우친(비대칭) 분포도 흔하며, 이런 경우 정규분포를 가정하는 t검정이나 ANOVA 대신 비모수 검정을 사용해야 합니다.