다항분포 (Multinomial Distribution)

한 줄 정의: 결과가 두 가지가 아니라 세 가지 이상인 시행을 여러 번 반복했을 때, 각 결과가 몇 번씩 나오는지를 나타내는 확률분포입니다.

쉽게 풀면

동전 던지기처럼 결과가 "앞면 또는 뒷면" 두 가지뿐이면 이항분포로 충분합니다. 하지만 주사위를 던지면 결과가 1~6까지 여섯 가지이고, 설문조사에서 "찬성/반대/모름"처럼 세 가지 응답이 있을 수도 있습니다. 이렇게 결과가 세 가지 이상인 시행을 여러 번 반복할 때, 각 결과가 각각 몇 번씩 나올지의 확률을 다루는 것이 다항분포입니다. 즉 다항분포는 이항분포를 "결과가 여러 개인 경우"로 확장한 것이라고 이해하면 쉽습니다.

왜 중요한가

실제 연구 자료는 "예/아니오"처럼 두 갈래로만 나뉘지 않고, 여러 범주 중 하나를 고르는 형태(정당 지지, 진단 분류, 유전자형 등)로 나타나는 경우가 많습니다. 다항분포는 이런 다범주 자료가 나타날 확률을 수학적으로 표현하는 기본 틀을 제공하기 때문에, 통계학뿐 아니라 유전학, 언어학, 사회조사 방법론 등 범주형 자료를 다루는 다양한 분야의 통계 모형에서 이론적 토대로 쓰입니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

"응답자들은 세 가지 선택지 중 하나를 골랐으며, 각 선택지의 응답 빈도는 다항분포를 따르는 것으로 모형화하였다."

이 문장은 세 개 이상의 범주형 응답 결과를 확률적으로 다룰 때, 각 범주가 나올 빈도를 다항분포로 설명했다는 뜻입니다.

"멘델 유전 비율을 검증하기 위해 관찰된 표현형 빈도를 다항분포에 기반한 기대빈도와 비교하였다."

이 문장은 여러 유전형(표현형) 범주가 특정 이론적 비율로 나타나야 한다는 가정을, 실제 관찰된 빈도와 비교해 검증했다는 뜻입니다. 유전학 연구에서 흔히 볼 수 있는 표현입니다.

"토픽 모형에서 각 문서 내 단어 출현 빈도는 다항분포를 따르는 것으로 가정하였다."

이 문장은 텍스트 문서를 확률적으로 다루는 자연어처리 모형에서, 문서 안에 특정 단어들이 몇 번씩 등장하는지를 다항분포로 표현했다는 의미입니다.

조금 더 깊게 보면

다항분포는 이항분포를 범주 개수가 셋 이상인 경우로 확장한 것으로, 각 범주가 나타날 확률을 모은 벡터와 전체 시행 횟수로 정의됩니다. 논문에서는 다항분포 자체를 직접 언급하기보다, 이를 바탕으로 한 다항 로지스틱 회귀나 범주형 자료의 적합도를 검정하는 카이제곱검정 형태로 활용되는 경우가 더 많습니다. 베이지안 분석에서는 다항분포와 짝을 이루는 디리클레(Dirichlet) 분포가 사전분포로 함께 쓰이기도 합니다.

주의할 점

다항분포를 적용하려면 각 시행이 서로 독립적이고, 각 범주가 나올 확률이 시행마다 일정해야 합니다. 범주가 두 개뿐인 특수한 경우가 바로 이항분포이므로, 두 분포는 같은 논리를 공유하는 한 가족이라고 볼 수 있습니다. 범주형 자료의 빈도를 비교·검정할 때는 카이제곱검정과 함께 쓰이는 경우가 많습니다.