마르코프 연쇄 (Markov chain)
쉽게 풀면
내일 날씨가 맑을지 비 올지를 예측한다고 해봅시다. 마르코프 연쇄의 관점에서는 "지난 한 달간의 날씨 전체"를 알 필요 없이, "오늘 날씨가 맑았는지 비가 왔는지"만 알면 충분합니다. 즉 "오늘이 맑으면 내일 맑을 확률 80%, 비 올 확률 20%" 같은 식으로, 오직 현재 상태만 보고 다음 상태의 확률을 정하는 것입니다. 이렇게 "다음 단계는 현재에만 달려 있고, 그 이전 과거는 이미 현재 상태에 다 녹아 있어 더 볼 필요가 없다"는 성질을 마르코프 성질이라고 부르며, 이 성질을 만족하는 연속된 확률 사건들을 마르코프 연쇄라고 합니다.
왜 중요한가
마르코프 연쇄는 현재 상태만으로 미래를 확률적으로 예측할 수 있게 해주는 단순하면서도 강력한 틀이기 때문에, 통계학과 확률론뿐 아니라 마케팅의 소비자 행동 모형, 유전학의 서열 분석, 자연어 처리, 강화학습 등 순차적 상태 변화를 다루는 매우 다양한 분야에서 기초 모형으로 쓰입니다. 특히 복잡한 시스템이라도 마르코프 성질을 가정하면 전이확률 행렬 하나로 장기적인 행동을 예측할 수 있어, 계산이 어려운 문제를 다루기 쉬운 형태로 단순화하는 데 자주 활용됩니다. 이러한 성질은 뒤에서 다룰 MCMC 기법의 이론적 토대이기도 합니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
이 문장은 소비자가 이번 달에 어떤 브랜드를 썼는지만 알면 다음 달에 브랜드를 유지하거나 바꿀 확률을 계산할 수 있다고 가정하고, 그 확률들을 모아 미래의 시장점유율 변화를 예측했다는 뜻입니다.
보건의료 연구에서 환자가 현재 어떤 질병 단계에 있는지만 알면 다음 단계로 넘어갈 확률을 계산할 수 있다고 가정하고, 이를 바탕으로 질병의 장기적 진행 경과를 예측한 사례입니다.
조금 더 깊게 보면
마르코프 연쇄는 상태 간 이동 확률을 담은 전이확률 행렬로 표현되며, 이 행렬을 반복해서 곱해 나가면 시간이 충분히 지났을 때 각 상태에 머무를 확률이 더 이상 변하지 않는 정상분포(stationary distribution)에 수렴하는 경우가 많습니다. 이 정상분포로 수렴하는 성질은 마르코프 연쇄 몬테카를로 기법이 목표로 하는 분포에서 표본을 뽑아낼 수 있게 해주는 이론적 근거가 됩니다. 다만 현실의 많은 현상은 순수한 마르코프 성질을 완전히 만족하지 않기 때문에, 실제 적용 시에는 상태를 어떻게 정의하느냐에 따라 근사의 타당성이 달라질 수 있습니다.
주의할 점
마르코프 연쇄의 핵심 가정은 "미래는 현재 상태에만 의존하고, 그 이전의 과거 경로는 추가 정보를 주지 않는다(마르코프 성질)"는 것입니다. 실제 현상이 과거의 더 긴 이력에 영향을 받는다면 이 가정이 성립하지 않아 예측이 부정확해질 수 있습니다. 몬테카를로 시뮬레이션과 결합한 마르코프 연쇄 몬테카를로(MCMC) 기법은 복잡한 확률분포에서 표본을 뽑아내는 데 널리 활용됩니다.