확률보행 (Random Walk)
한 줄 정의: 독립적인 무작위 걸음을 차례로 더해 위치가 변해 가는 확률과정으로, 가장 단순한 확률과정 모형입니다.
쉽게 풀면
동전을 던져 앞면이면 오른쪽, 뒷면이면 왼쪽으로 한 칸씩 움직인다고 해 봅시다. 이렇게 움직인 위치의 기록이 확률보행입니다. 단순하지만 확산, 주가, 유전자 빈도 변화 등 많은 현상의 기본 모형이 됩니다.
왜 중요한가
브라운 운동과 확산 방정식의 이산적 원형이라 물리·생물·금융 모형을 이해하는 출발점입니다. 그래프 위 확률보행은 페이지랭크나 네트워크 분석 알고리즘에도 쓰입니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"1차원과 2차원 단순 대칭 확률보행은 확률 1로 원점에 되돌아오지만, 3차원에서는 되돌아올 확률이 1보다 작다."
차원에 따른 재귀성 차이(폴리아 정리)를 보여 주는 예시입니다.
조금 더 깊게 보면
S_n=X_1+…+X_n에서 X_i가 독립이고 같은 분포를 따르면 확률보행입니다. 평균이 0이고 분산이 σ²이면 n걸음 후 표준편차는 σ√n으로 커집니다. 걸음 크기와 시간 간격을 적절히 줄이는 극한에서 브라운 운동이 나옵니다(돈스커 정리). 확률보행은 마르코프 연쇄의 대표 예이고, 평균이 0이면 마팅게일이기도 합니다.
주의할 점
금융의 랜덤워크이론은 주가 변화가 예측 불가능하다는 시장 가설이고, 이 항목은 수학적 확률과정 자체입니다. 확률보행이라는 수학 모형이 곧 주가가 무작위라는 주장을 입증하는 것은 아닙니다.