주변분포 (Marginal Distribution)
쉽게 풀면
여러 나라 사람들의 키와 몸무게를 함께 조사한 자료가 있을 때, '몸무게는 무시하고 키만 봤을 때의 분포'가 바로 주변분포다. 결합분포라는 표 전체에서 관심 있는 한 변수를 기준으로 나머지를 다 더하거나 적분해서 얻어지기 때문에 '가장자리(margin)'라는 이름이 붙었다. 여러 변수 중 하나에만 관심이 있을 때 나머지 변수의 영향을 평균 내어 없애는 역할을 한다.
왜 중요한가
주변분포는 여러 확률변수를 동시에 다루는 통계 모형에서 특정 변수 하나에 대한 결론을 뽑아내기 위한 필수 도구이기 때문에, 베이지안 통계학, 다변량 분석, 확률그래프모형을 다루는 논문에서 매우 자주 등장합니다. 특히 복잡한 결합모형을 세운 뒤 실제로 보고하고 해석하는 대상은 개별 변수의 주변분포인 경우가 많아, 모형 자체만큼이나 결과를 요약하는 단계에서 중요한 역할을 합니다. 또한 결측자료 분석이나 계층모형에서도 관심 없는 변수를 적분해 없애는 과정에서 핵심적으로 쓰입니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
베이지안 분석에서 여러 모수 중 하나에 대한 추론만 필요할 때 나머지 모수를 적분하여 없애는 과정에서 자주 등장한다.
유전학 연구에서 여러 유전자 좌위를 함께 분석한 결합 자료로부터, 관심 있는 한 좌위만의 분포를 뽑아내 개별 대립유전자의 빈도를 구했다는 뜻입니다.
조금 더 깊게 보면
이산확률변수의 경우 주변분포는 결합확률질량함수를 관심 없는 변수의 값들에 대해 모두 더해서 구하고, 연속확률변수의 경우에는 결합확률밀도함수를 관심 없는 변수에 대해 적분해서 구합니다. 복잡한 모형에서는 이 적분을 해석적으로 풀 수 없는 경우가 많아, 마르코프 연쇄 몬테카를로 같은 표본추출 기법으로 주변분포를 근사적으로 구하는 경우가 흔합니다. 주변분포와 조건부분포는 서로 결합분포를 구성하는 두 축으로, 둘을 함께 살펴봐야 변수 간 의존관계까지 온전히 파악할 수 있습니다.
주의할 점
두 변수가 결합분포 상에서 서로 의존적이라면, 각각의 주변분포만 보고는 그 관계를 알 수 없다는 한계가 있다.