점프확산모형 (Jump-diffusion Model)
한 줄 정의: 자산가격이 연속적인 확산과정에 더해 포아송 과정으로 발생하는 불연속 점프를 가진다고 보는 가격 동학 모형입니다.
쉽게 풀면
주가는 평소엔 조금씩 오르내리다가 실적 발표나 위기 때 갑자기 뛰거나 떨어집니다. 점프확산모형은 이 두 움직임을 함께 담습니다. 점프가 언제 올지는 포아송 과정으로, 크기는 확률분포로 나타냅니다.
왜 중요한가
수익률 분포의 두꺼운 꼬리와 단기 옵션의 가파른 변동성 스마일을 설명할 수 있습니다. 급락 위험을 가격에 반영하는 옵션 평가와 위험관리에 쓰입니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"점프확산모형은 단기 외가격 풋옵션의 높은 내재변동성을 순수 확산모형보다 잘 설명하였다."
급락 위험이 단기 옵션 가격에 크게 반영된다는 점을 보여 줍니다.
조금 더 깊게 보면
머튼(1976)은 로그정규 크기의 점프를 추가한 모형을 제안했고, 점프 위험이 분산 가능하다는 가정 아래 옵션 가격을 무한급수로 표현했습니다. 이후 점프 크기를 비대칭 지수분포로 둔 코우 모형 등이 나왔습니다. 점프가 있으면 시장이 불완전해져 기초자산만으로 완전 헤지가 불가능하다는 점이 중요한 함의입니다.
주의할 점
두꺼운 꼬리 분포(fat-tail-distribution)는 수익률 분포의 특성에 대한 기술이고, 점프확산모형은 그런 분포를 만들어 내는 가격 과정 모형입니다. 헤스턴 모형 같은 확률변동성 모형과도 스마일을 설명하는 기전이 다릅니다.