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동차좌표 (Homogeneous Coordinates)

쉽게 풀면

평면의 점 (x, y)를 (x, y, 1)처럼 성분을 하나 늘려 표현하는 방식입니다. 전체에 0이 아닌 같은 수를 곱해도 같은 점을 나타낸다고 약속하므로, (2x, 2y, 2)도 같은 점입니다. 마지막 성분이 0인 경우는 무한히 먼 곳의 방향을 나타내는 무한원점으로 해석합니다.

왜 중요한가

이 좌표를 쓰면 평행이동까지 행렬곱 하나로 표현되어, 회전·확대·평행이동·원근투영을 모두 행렬의 곱으로 합성할 수 있습니다. 컴퓨터 그래픽스의 변환 파이프라인과 컴퓨터 비전의 카메라 모형이 전부 이 표현 위에서 구현됩니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

조금 더 깊게 보면

동차좌표는 사영기하학의 표준 좌표계로, 평면의 점들을 3차원 공간에서 원점을 지나는 직선과 대응시킨 것입니다. 직선도 세 개의 계수로 표현되며, 두 직선의 교점을 외적으로 계산할 수 있어 점과 직선이 대칭적으로 다루어집니다. 마지막 성분으로 나누어 원래 좌표로 돌아오는 과정이 원근 나눗셈이며, 이것이 카메라 영상의 원근 효과를 만들어 냅니다.

주의할 점

동차좌표는 상수배 차이를 무시하므로 좌표값 자체에는 절대적 의미가 없고 비율만 의미가 있습니다. 또 마지막 성분이 0인 점은 평면 위의 실제 점이 아니므로 그대로 나눗셈을 하면 안 됩니다.

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