사영기하학 (Projective Geometry)

한 줄 정의: 평행선도 한 점에서 만난다고 보아 무한원점을 더한 기하학입니다.

쉽게 풀면

철길을 사진으로 찍으면 평행한 두 레일이 지평선의 한 점에서 만나는 것처럼 보입니다. 사영기하학은 이런 현상을 정면으로 받아들여, 평면에 무한히 먼 점들을 추가해 평행선도 반드시 한 점에서 만나도록 만든 기하학입니다. 그 결과 예외 없는 깔끔한 규칙들이 성립합니다.

왜 중요한가

카메라가 3차원 장면을 2차원 영상으로 만드는 과정이 바로 사영변환이므로, 컴퓨터 비전의 카메라 보정, 3차원 복원, 영상 정합 이론의 수학적 토대가 됩니다. 대수기하학에서도 곡선의 교점 개수가 예외 없이 맞아떨어지게 하는 자연스러운 무대입니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

"두 영상 사이의 대응을 사영변환으로 모형화하여 호모그래피 행렬을 추정하였다."

조금 더 깊게 보면

사영평면에서는 서로 다른 두 점이 항상 한 직선을 결정하고 서로 다른 두 직선이 항상 한 점에서 만나므로, 점과 직선의 역할을 맞바꾸어도 참인 명제가 되는 쌍대성이 성립합니다. 사영변환은 길이와 각도, 평행성까지 보존하지 않지만, 네 점의 복비는 보존하므로 이 값이 사영기하학의 기본 불변량이 됩니다. 계산은 동차좌표로 이루어지며, 평면의 사영변환은 3×3 행렬로 표현됩니다.

주의할 점

유클리드 기하학의 정리를 그대로 옮겨 쓸 수 없습니다. 거리와 각도 개념 자체가 없으므로 합동이나 닮음 같은 개념은 사영기하학에서 정의되지 않습니다. 곡면의 곡률을 다루는 비유클리드 기하학과도 다른 방향의 확장입니다.