아핀변환 (Affine Transformation)
한 줄 정의: 선형변환에 평행이동을 더한, 직선과 평행성을 보존하는 변환입니다.
쉽게 풀면
도형을 늘이고 기울이고 회전시킨 다음 통째로 옮기는 변환을 아핀변환이라고 합니다. 직선은 변환 후에도 직선이고 평행한 두 직선은 계속 평행하지만, 길이와 각도는 달라질 수 있습니다. 행렬을 곱한 뒤 벡터를 더하는 형태로 표현됩니다.
왜 중요한가
영상 정합, 컴퓨터 그래픽스, 지도 투영, 통계의 변수 표준화가 모두 아핀변환으로 기술됩니다. 확률분포에서 평균과 분산을 조정하는 표준화 역시 아핀변환이며, 정규분포가 아핀변환에 대해 닫혀 있다는 성질이 통계 이론에서 자주 사용됩니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"대응점 세 쌍으로부터 아핀변환 행렬을 추정하여 두 영상을 정합하였다."
조금 더 깊게 보면
평면의 아핀변환은 2×2 행렬과 2차원 평행이동 벡터로 총 6개의 자유도를 가지므로, 대응점 세 쌍이 있으면 유일하게 결정됩니다. 동차좌표를 사용하면 평행이동까지 하나의 행렬곱으로 통합되어 변환들의 합성이 행렬곱으로 처리됩니다. 아핀변환은 선분의 중점을 중점으로 보내고 넓이 비를 보존하지만, 원근 효과를 표현하지는 못해 그런 경우에는 사영변환이 필요합니다.
주의할 점
선형변환은 반드시 원점을 원점으로 보내지만 아핀변환은 그렇지 않다는 점이 결정적 차이입니다. 또 아핀변환은 길이와 각도를 보존하지 않으므로 회전과 평행이동만 있는 강체변환과 구별해야 합니다.