벡터의 외적 (Cross Product)
쉽게 풀면
책상 위에 연필 두 자루를 서로 다른 방향으로 놓았다고 해봅시다. 이 두 연필이 이루는 평면에 대해 정확히 수직으로 튀어나오는 화살표를 하나 그릴 수 있습니다. 이 화살표가 바로 두 벡터의 "외적"입니다. 화살표의 길이(크기)는 두 연필이 만드는 평행사변형의 넓이와 같고, 방향은 "오른손 법칙"으로 정해집니다. 오른손 네 손가락을 첫 번째 벡터에서 두 번째 벡터로 감아쥐면 엄지손가락이 가리키는 방향이 외적의 방향입니다. 반면 두 벡터를 "얼마나 같은 방향을 보는지"를 숫자 하나로 요약하는 벡터의 내적과 달리, 외적은 결과 자체가 새로운 벡터라는 점이 다릅니다.
왜 중요한가
외적은 회전, 토크, 각운동량처럼 3차원 공간에서 회전 효과와 관련된 물리량을 수식으로 표현하는 데 필수적인 도구여서, 고전역학뿐 아니라 로봇공학, 컴퓨터 그래픽스, 항공우주공학 논문에서 반복적으로 등장한다. 또한 두 벡터에 동시에 수직인 방향(법선벡터)을 구하는 데 사용되므로, 3차원 표면이나 평면을 다루는 컴퓨터비전·그래픽스 연구에서도 기본 연산으로 쓰인다. 물리 시스템의 자세나 방향을 다루는 자세제어, 관성항법 관련 연구에서도 외적 연산이 핵심적인 역할을 한다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
이 문장은 회전운동을 일으키는 힘의 효과(토크)를 구하기 위해, 두 벡터의 외적 연산을 사용했다는 뜻입니다. 외적은 물리학·로봇공학 논문에서 토크, 각운동량, 평면의 법선벡터를 구할 때 자주 등장합니다.
컴퓨터그래픽스 분야에서 3차원 표면의 방향(법선)을 구하는 데 외적이 표준적으로 사용됨을 보여준다.
조금 더 깊게 보면
외적의 크기는 두 벡터가 이루는 각도의 사인 값에 비례하며, 두 벡터가 평행할 때(각도가 0도 또는 180도) 외적은 영벡터가 된다는 성질은 두 벡터의 선형독립 여부를 판별하는 데도 활용된다. 계산상으로는 행렬식이나 레비-치비타 기호를 이용한 표현으로도 나타낼 수 있어, 벡터 미적분학이나 텐서 표기를 사용하는 논문에서는 이러한 대안적 표기를 함께 접하게 될 수 있다. 외적은 본래 3차원(및 7차원)에서만 정의되는 연산이므로, 더 높은 차원을 다루는 논문에서는 외적 대신 쐐기곱(wedge product)과 같은 일반화된 개념이 사용되기도 한다.
주의할 점
외적은 벡터의 내적과 이름이 비슷해 자주 혼동됩니다. 내적의 결과는 스칼라(숫자)이지만, 외적의 결과는 벡터입니다. 또한 외적은 교환법칙이 성립하지 않으며(A × B = −(B × A)), 표준적인 형태는 3차원 벡터에서만 정의됩니다.