벡터의 외적 (Cross Product)

한 줄 정의: 두 벡터로부터 그 둘 모두에 수직인 새로운 벡터를 만들어내는 3차원 공간의 벡터 연산입니다.

쉽게 풀면

책상 위에 연필 두 자루를 서로 다른 방향으로 놓았다고 해봅시다. 이 두 연필이 이루는 평면에 대해 정확히 수직으로 튀어나오는 화살표를 하나 그릴 수 있습니다. 이 화살표가 바로 두 벡터의 "외적"입니다.

화살표의 길이(크기)는 두 연필이 만드는 평행사변형의 넓이와 같고, 방향은 "오른손 법칙"으로 정해집니다. 오른손 네 손가락을 첫 번째 벡터에서 두 번째 벡터로 감아쥐면 엄지손가락이 가리키는 방향이 외적의 방향입니다.

반면 두 벡터를 "얼마나 같은 방향을 보는지"를 숫자 하나로 요약하는 벡터의 내적과 달리, 외적은 결과 자체가 새로운 벡터라는 점이 다릅니다.

왜 중요한가

외적은 회전, 토크, 각운동량처럼 3차원 공간에서 회전 효과와 관련된 물리량을 수식으로 표현하는 데 필수적인 도구여서, 고전역학뿐 아니라 로봇공학, 컴퓨터 그래픽스, 항공우주공학 논문에서 반복적으로 등장한다.

또한 두 벡터에 동시에 수직인 방향(법선벡터)을 구하는 데 사용되므로, 3차원 표면이나 평면을 다루는 컴퓨터비전·그래픽스 연구에서도 기본 연산으로 쓰인다. 물리 시스템의 자세나 방향을 다루는 자세제어, 관성항법 관련 연구에서도 외적 연산이 핵심적인 역할을 한다.

핵심 정리

외적 a × b는 3차원 벡터 두 개로부터 둘 모두에 수직인 새 벡터를 만드는 연산입니다. 성분으로 쓰면

a × b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)입니다.

크기: |a × b| = |a||b| sin θ. 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이와 같습니다(삼각형 넓이는 그 절반).
방향: 오른손 법칙. a에서 b로 손가락을 감을 때 엄지 방향.
평행하면 0: 두 벡터가 평행(θ = 0° 또는 180°)이면 외적은 영벡터입니다.
교환 법칙 없음: a × b = −(b × a).

예시로 보기

가상의 예 1. a = (1, 2, 3), b = (4, 5, 6)이면 코드로 계산한 a × b = (-3, 6, -3)이고, 크기는 √54 ≈ 7.348입니다. a·(a × b) = 0, b·(a × b) = 0이므로 a, b 모두에 수직임이 확인됩니다. 순서를 바꾸면 b × a = (3, -6, 3)로 부호가 뒤집힙니다. 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이는 7.348, 삼각형 넓이는 3.674입니다.

가상의 예 2: 토크. 회전축에서 팔 길이가 r = (0.3, 0, 0) m인 위치에 힘 F = (0, 20, 0) N이 작용하면 토크 τ = r × F = (0, 0, 6) N·m로, 크기 6 N·m이고 z축 방향입니다(토크).

자주 하는 오해

“외적의 결과는 숫자다”라는 오해: 결과는 벡터입니다. 숫자가 나오는 것은 내적(내적)입니다.
“어느 차원에서나 정의된다”는 오해: 보통의 외적은 3차원에서 정의됩니다. 2차원에서는 z성분만 남는 값(스칼라처럼 쓰는 값)을 쓰기도 합니다.
“a × b와 b × a는 같다”는 오해: 크기는 같고 방향이 반대입니다.
“0이면 둘 다 영벡터다”라는 오해: 평행하기만 해도 0입니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

실제 논문에서

이 용어를 직접 쓴 국내 논문 문장을 아직 수집하지 못했습니다. 수집되는 대로 출처와 함께 싣겠습니다.

예시 문장

아래는 용어의 쓰임을 보여 주려고 만든 예시로, 실제 논문에서 가져온 문장이 아닙니다.

"강체에 작용하는 토크는 위치벡터와 힘벡터의 외적(r × F)으로 계산하였다."

이 문장은 회전운동을 일으키는 힘의 효과(토크)를 구하기 위해, 두 벡터의 외적 연산을 사용했다는 뜻입니다. 외적은 물리학·로봇공학 논문에서 토크, 각운동량, 평면의 법선벡터를 구할 때 자주 등장합니다.

"삼각형 메쉬의 각 면에 대한 법선벡터는 두 변에 대응하는 벡터의 외적을 정규화하여 계산하였다."

컴퓨터그래픽스 분야에서 3차원 표면의 방향(법선)을 구하는 데 외적이 표준적으로 사용됨을 보여준다.

조금 더 깊게 보면

외적의 크기는 두 벡터가 이루는 각도의 사인 값에 비례하며, 두 벡터가 평행할 때(각도가 0도 또는 180도) 외적은 영벡터가 된다는 성질은 두 벡터의 선형독립 여부를 판별하는 데도 활용된다.

계산상으로는 행렬식이나 레비-치비타 기호를 이용한 표현으로도 나타낼 수 있어, 벡터 미적분학이나 텐서 표기를 사용하는 논문에서는 이러한 대안적 표기를 함께 접하게 될 수 있다.

외적은 본래 3차원(및 7차원)에서만 정의되는 연산이므로, 더 높은 차원을 다루는 논문에서는 외적 대신 쐐기곱(wedge product)과 같은 일반화된 개념이 사용되기도 한다.

주의할 점

외적은 벡터의 내적과 이름이 비슷해 자주 혼동됩니다. 내적의 결과는 스칼라(숫자)이지만, 외적의 결과는 벡터입니다. 또한 외적은 교환법칙이 성립하지 않으며(A × B = −(B × A)), 표준적인 형태는 3차원 벡터에서만 정의됩니다.

헷갈리기 쉬운 용어

벡터의 곱에는 세 가지가 자주 나오며 결과의 종류가 다릅니다.

연산	결과	의미
내적 a·b	스칼라	투영, 각도, 일의 계산
외적 a × b	벡터	수직 방향, 넓이, 토크
스칼라 삼중곱 a·(b × c)	스칼라	세 벡터가 만드는 평행육면체의 부피

참고 문헌

Marsden, J. E., & Tromba, A. J. (2012). Vector Calculus (6th ed.). W. H. Freeman.
Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra (5th ed.). Wellesley-Cambridge Press.

표의 기준값은 위 문헌에 근거한 관례이며, 분야·학술지마다 다른 기준을 쓸 수 있습니다.