경험적 분포함수 (Empirical Distribution Function)
쉽게 풀면
모집단의 실제 누적분포함수는 알 수 없지만, 표본에서 '어떤 값 이하인 관측치가 전체의 몇 퍼센트인가'를 계산하면 그 자체가 모집단 분포함수를 추정하는 자연스러운 방법이 된다. 표본이 늘어날수록 이 경험적 분포함수는 참된 분포함수에 점점 더 가까워진다는 것이 확률수렴의 형태로 증명되어 있다(글리벤코-칸텔리 정리). 콜모고로프-스미르노프 검정을 비롯한 여러 비모수 검정이 바로 이 경험적 분포함수를 기초로 만들어진다.
왜 중요한가
경험적 분포함수는 모집단 분포를 특정 형태로 가정하지 않고도 자료 자체에서 분포 정보를 얻을 수 있게 해주기 때문에, 비모수 통계 방법론 전반의 토대가 됩니다. 적합도 검정, 신뢰구간 구성, 부트스트랩과 같은 재표본 방법 등 여러 통계적 추론 도구가 이를 기초로 만들어져 있어, 통계학뿐 아니라 자료 분포에 대한 가정을 최소화하고자 하는 다양한 응용 분야 논문에서 자주 언급됩니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
관측된 자료만으로 모집단의 분포함수를 특정 모형 없이 추정하고, 이를 비모수 검정의 기초로 사용할 때 언급된다.
환경통계 및 수문학 연구에서 특정 분포를 가정하기 전에 자료 자체의 경험적 분포를 먼저 살펴볼 때 쓰이는 표현입니다.
재표본 기반 추론 방법을 설명하는 통계방법론 논문에서 경험적 분포함수가 이론적 근거로 언급되는 예문입니다.
조금 더 깊게 보면
경험적 분포함수가 참된 분포함수로 수렴한다는 사실을 뒷받침하는 글리벤코-칸텔리 정리는 단순한 점별 수렴이 아니라 모든 값에서 동시에, 균등하게 수렴한다는 더 강한 형태의 결과입니다. 이 성질 덕분에 콜모고로프-스미르노프 검정처럼 경험적 분포함수와 이론적 분포함수 사이의 최대 차이를 검정통계량으로 사용하는 방법이 정당화됩니다. 또한 부트스트랩과 같은 재표본 기법은 원표본의 경험적 분포함수를 모집단 분포의 대리물로 사용한다는 점에서, 경험적 분포함수는 비모수적 재표본 방법론 전반의 개념적 출발점 역할을 합니다.
주의할 점
경험적 분포함수는 계단 형태로 불연속적이므로, 매끄러운 분포 형태를 원한다면 커널밀도추정과 같은 별도의 평활화(smoothing) 기법이 추가로 필요하다.