코시 분포 (Cauchy Distribution)
한 줄 정의: 꼬리가 매우 두꺼워 평균과 분산이 존재하지 않는 대칭 연속분포입니다.
쉽게 풀면
종 모양으로 대칭이지만 정규분포보다 꼬리가 훨씬 두꺼워 극단값이 자주 나옵니다. 표본을 아무리 많이 모아도 표본평균이 한 값으로 수렴하지 않는데, 기댓값 자체가 정의되지 않기 때문입니다. 중심 위치와 퍼짐을 나타내는 두 모수로 기술하며 중심은 중앙값으로 해석합니다.
왜 중요한가
큰 수의 법칙과 중심극한정리가 성립하려면 어떤 조건이 필요한지를 보여 주는 대표적 반례라 이론 수업에서 빠지지 않습니다. 실무에서는 두꺼운 꼬리를 허용하는 강건한 사전분포나 오차분포로 활용됩니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"회귀계수의 약정보 사전분포로 척도 2.5의 반코시 분포를 설정하였다."
극단적인 값도 배제하지 않는 두꺼운 꼬리의 사전분포를 사용했다는 뜻입니다.
조금 더 깊게 보면
표준정규분포를 따르는 두 독립 확률변수의 비는 표준 코시 분포가 되며, 자유도 1인 t분포와 같습니다. 코시 분포를 따르는 표본들의 평균은 다시 같은 코시 분포를 따르기 때문에 표본을 늘려도 정밀도가 좋아지지 않고, 중앙값이나 절사평균 같은 강건한 추정량을 써야 합니다. 베이지안 분석에서는 반코시 분포가 분산모수의 약정보 사전분포로 널리 권장됩니다.
주의할 점
모양이 정규분포와 비슷해 보여도 평균·분산이 없다는 점에서 성질이 근본적으로 다르며, 정규성 가정에 기댄 검정을 그대로 적용하면 안 됩니다. 자유도가 큰 t분포가 정규분포에 가까워지는 것과 달리 코시는 그 반대편 극단에 있습니다.