t분포 (t-distribution)
쉽게 풀면
키를 잴 때 자를 30번 재면 평균이 꽤 정확하지만, 딱 5번만 재면 어쩌다 튄 값 하나에 평균이 크게 흔들릴 수 있습니다. t분포는 이렇게 "표본이 적어서 생기는 불확실성"을 반영한 분포입니다. 표본 크기(정확히는 자유도)가 작을수록 극단적인 값이 나올 여지를 더 넉넉하게 잡아주기 때문에 정규분포보다 양쪽 꼬리가 두툼합니다. 반대로 표본이 많아질수록(자유도가 커질수록) t분포는 점점 표준정규분포와 똑같은 모양이 됩니다.
왜 중요한가
실제 연구에서는 모집단의 표준편차를 정확히 알고 시작하는 경우가 거의 없고, 표본 크기도 제한적인 경우가 많습니다. t분포는 이런 현실적인 조건에서도 평균에 대한 통계적 추론(가설검정, 신뢰구간 추정)을 가능하게 해주기 때문에, 사실상 거의 모든 실증 연구 분야에서 사용되는 t검정과 회귀분석 계수 검정의 이론적 토대가 됩니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
이 문장에서 t(48)은 "자유도 48인 t분포에서 계산된 t값이 2.31"이라는 뜻입니다. 표본이 작을 때는 정규분포 대신 이 t분포를 기준으로 유의성을 판단합니다.
t분포가 단순한 평균 비교뿐 아니라, 회귀분석에서 개별 계수의 유의성을 판단하는 데도 폭넓게 쓰인다는 것을 보여주는 예문입니다.
조금 더 깊게 보면
t분포의 모양은 자유도라는 하나의 파라미터로 결정되며, 자유도는 대체로 표본 크기에서 추정해야 하는 모수의 개수를 뺀 값으로 정해집니다. 자유도가 작을수록 분포의 꼬리가 두꺼워 극단값이 나올 가능성을 더 크게 반영하고, 자유도가 커질수록 표준정규분포에 가까워집니다. 표본평균을 표준오차로 나눈 통계량이 t분포를 따른다는 성질은, 데이터가 정규분포를 따른다는 가정 아래 수학적으로 유도된 결과입니다.
주의할 점
t분포는 표본 크기가 작을 때만 정규분포와 뚜렷이 달라지며, 표본이 충분히 크면(보통 30 이상) 정규분포로 근사해도 큰 차이가 없습니다. 어떤 검정을 쓸지는 t검정의 전제(정규성, 등분산성 등)를 함께 확인해야 합니다.