F분포 (f-distribution)
쉽게 풀면
세 반의 시험 점수 평균을 비교한다고 해봅시다. "반별로 평균이 다르다"는 것은 결국 "반 사이의 차이(분산)"가 "같은 반 안에서의 들쭉날쭉함(분산)"보다 훨씬 큰지를 보는 문제입니다. F분포는 바로 이 두 종류의 분산을 나눈 비율(F값)이 우연히 이 정도 크기로 나올 확률이 얼마인지를 알려주는 분포입니다.
두 분산 사이에 실제 차이가 없다면 F값은 1 근처에 몰려 있고, F값이 1보다 훨씬 크면 "우연이라기엔 반 사이 차이가 너무 크다"고 판단합니다.
왜 중요한가
F분포는 분산분석(ANOVA)과 회귀모형의 전체 유의성 검정을 뒷받침하는 이론적 토대이기 때문에, 여러 집단을 동시에 비교하거나 여러 독립변수를 포함한 회귀모형을 평가하는 거의 모든 사회과학·자연과학 실증 논문에서 마주치게 됩니다. 특히 t검정으로는 두 집단만 비교할 수 있는 반면, F검정은 세 집단 이상을 한 번에 비교할 수 있어 다집단 실험설계 논문에서 필수적으로 등장합니다.
핵심 정리
- 서로 독립인 두 카이제곱 변수를 각자의 자유도로 나눈 값의 비율, 즉
F = (U₁/d₁) / (U₂/d₂)(U₁ ~ χ²(d₁), U₂ ~ χ²(d₂))가 따르는 분포입니다. 분자 자유도 d₁과 분모 자유도 d₂ 두 개로 모양이 정해지며 순서가 중요합니다(F(2, 27)과 F(27, 2)는 다릅니다). - 0 이상의 값만 가지며 오른쪽으로 치우쳐 있습니다. 분모 자유도가 2보다 크면 평균은 d₂/(d₂ − 2)로 1보다 조금 큽니다(d₂ = 27이면 1.08). 두 분산이 같다면 F는 1 근처에 몰립니다.
- 분산분석과 회귀의 전체 모형 F검정에서는 오른쪽 꼬리의 확률만 p값으로 씁니다. F가 작아도(1보다 훨씬 작아도) 집단 간 차이가 없다는 쪽으로 해석할 뿐이며 별도의 기각 영역이 없습니다.
- 관계식: ① F(1, d₂)의 값은 자유도 d₂의 t값을 제곱한 것과 같습니다. 그래서 두 집단 비교의 F검정은 t검정과 같은 결론입니다. ② F1−α(d₁, d₂) = 1 / Fα(d₂, d₁).
- 이름은 Fisher의 이름을 따서 Snedecor가 붙였다고 알려져 있어 Fisher-Snedecor 분포라고도 부릅니다.
예시로 보기
세 집단(N = 30)을 비교하는 일원분산분석이면 자유도는 d₁ = 2, d₂ = 27입니다.
| 값 | 의미 |
|---|---|
| F.95(2, 27) = 3.354 | F가 3.354 이상일 확률이 5%. 5% 수준의 임계값 |
| F = 4.20이면 | 오른쪽 꼬리 확률 p = .026 → 5% 수준에서 유의 |
| F.95(1, 27) = 4.210 | t.975(27)² = 2.052² = 4.210과 일치 |
분모 자유도가 커지면 임계값이 줄어듭니다. 분자 자유도 5일 때 5% 임계값은 분모 자유도 60이면 2.368, 1,000이면 2.223입니다(분모 자유도가 무한대일 때는 χ²(5)/5의 임계값에 접근). 표본이 클수록 같은 F값이 더 쉽게 유의해진다는 뜻입니다.
분산분석표에서는 이렇게 읽습니다. F(2, 27) = 4.20, p = .026은 “집단 간 평균제곱이 집단 내 평균제곱의 약 4.2배이며, 모든 집단 평균이 같다면 이런 값이 나올 확률이 2.6%”라는 뜻입니다. 어느 집단 사이에 차이가 있는지는 사후검정으로 확인해야 합니다.
자주 하는 오해
- “F값이 크면 효과가 크다.” F는 자유도와 표본 크기에 영향을 받습니다. 효과의 크기는 에타제곱 같은 효과크기로 따로 봅니다.
- “F검정은 두 분산이 같은지 볼 때도 믿을 만하다.” 두 분산비의 F검정은 자료가 정규분포에서 벗어나면 결과가 크게 흔들리는 것으로 알려져 있습니다(Box, 1953). 등분산성은 보통 레빈(Levene) 검정 등 더 강건한 방법으로 확인합니다.
- “분산분석의 F는 양측검정이다.” 평균들이 서로 다르면 F가 커지므로 오른쪽 꼬리만 봅니다.
- “F분포의 자유도는 표본 수다.” 일원분산분석에서 d₁ = 집단 수 − 1, d₂ = 전체 표본 수 − 집단 수입니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
실제 논문에서
이 용어를 직접 쓴 국내 논문 문장을 아직 수집하지 못했습니다. 수집되는 대로 출처와 함께 싣겠습니다.
예시 문장
아래는 용어의 쓰임을 보여 주려고 만든 예시로, 실제 논문에서 가져온 문장이 아닙니다.
이 문장에서 F(2, 87)은 "분자 자유도 2, 분모 자유도 87인 F분포를 기준으로 계산된 F값이 5.42"라는 뜻이며, 이 값이 F분포상 매우 드문 값이므로 집단 간 차이가 우연이 아니라고 결론 내린 것입니다.
회귀분석에서는 독립변수들이 종속변수를 설명하는 정도가 우연 수준을 넘어서는지를 F검정으로 확인한다는 뜻입니다.
두 집단의 흩어진 정도(분산)가 비슷한지 확인할 때도 F분포를 직접 이용한다는 의미입니다.
조금 더 깊게 보면
F분포는 두 개의 자유도(분자 자유도, 분모 자유도)에 의해 모양이 결정되며, 두 자유도가 모두 커질수록 치우침이 줄고 1 근처에 좁게 모입니다. 분산분석에서는 F값이 집단 간 분산(설명된 변동)을 집단 내 분산(설명되지 않은 변동, 오차)으로 나눈 값이라는 점이 핵심이며, t검정의 t값을 제곱하면 자유도 1인 F값과 같아진다는 관계도 자주 언급됩니다. F검정이 유의하더라도 어느 집단 사이에 구체적으로 차이가 있는지는 별도의 사후검정을 통해 확인해야 합니다.
주의할 점
F값이 유의하다는 것은 "집단들 사이 어딘가에 차이가 있다"는 것만 말해줄 뿐, 구체적으로 어느 집단과 어느 집단이 다른지는 알려주지 않습니다. 이를 확인하려면 분산분석 이후 사후검정을 별도로 실시해야 합니다.
헷갈리기 쉬운 용어
| 용어 | 정의 | 주로 쓰이는 곳 |
|---|---|---|
| F분포 | 두 카이제곱의 자유도 보정 비 | 분산분석, 회귀 전체 검정, 모형 비교 |
| t분포 | 정규 변수를 추정된 표준편차로 나눈 값 | 평균 비교, 회귀계수 검정. 제곱하면 F(1, df) |
| 카이제곱분포 | 표준정규 변수 제곱합 | 분산 추정, 적합도·독립성 검정 |
| 정규분포 | 종 모양의 기본 분포 | 큰 표본의 평균, 오차 |
참고 문헌
- Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Oliver and Boyd.
- Snedecor, G. W., & Cochran, W. G. (1989). Statistical Methods (8th ed.). Iowa State University Press.
- Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1995). Continuous Univariate Distributions, Volume 2 (2nd ed.). Wiley.
- Box, G. E. P. (1953). Non-normality and tests on variances. Biometrika, 40(3–4), 318–335.
표의 기준값은 위 문헌에 근거한 관례이며, 분야·학술지마다 다른 기준을 쓸 수 있습니다.