박스의 M 검정 (Box's M Test)
한 줄 정의: 여러 집단의 공분산행렬이 같은지 검정하는 다변량 등분산 검정입니다.
쉽게 풀면
다변량 분산분석이나 판별분석은 집단마다 변수들의 분산과 상관 구조가 같다고 가정합니다. 박스의 M 검정은 집단별 공분산행렬과 합동 공분산행렬의 차이를 행렬식으로 비교해 이 가정이 지켜지는지 확인합니다. p값이 작으면 가정이 깨졌다고 봅니다.
왜 중요한가
가정이 무너지면 다변량 검정의 1종 오류율이 달라지고 판별분석의 분류 결과도 왜곡됩니다. 그래서 다변량 분석을 보고하는 논문에서 전제 점검 항목으로 자주 제시됩니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"박스의 M 검정이 유의하여 공분산행렬의 동일성 가정이 충족되지 않아 필라이 트레이스를 함께 보고하였다."
등공분산 가정 위반에 비교적 강건한 통계량을 대안으로 제시했다는 뜻입니다.
조금 더 깊게 보면
검정통계량은 집단별 공분산행렬 행렬식의 로그를 자유도로 가중해 합동 행렬식과 비교한 형태이며, 카이제곱이나 F 근사로 p값을 구합니다. 이 검정은 정규성 위반에 매우 민감하고 표본이 크면 사소한 차이에도 유의해지기 때문에, 유의수준을 0.001처럼 엄격하게 잡아 판단하라는 권고가 흔합니다. 집단 크기가 비슷하면 다변량 분석이 위반에 비교적 강건하다는 점도 함께 고려합니다.
주의할 점
등분산을 보는 레빈 검정이나 바틀렛 검정이 변수 하나의 분산을 다루는 반면, 이 검정은 분산과 변수 간 상관을 담은 행렬 전체를 비교합니다. 유의한 결과가 곧 분석 불가를 뜻하지는 않으므로 대안 통계량과 함께 판단해야 합니다.