용어 목록 > 보르히 정리 (Borch's Theorem)

보르히 정리 (Borch's Theorem)

쉽게 풀면

보험사와 재보험사처럼 여러 주체가 하나의 손해를 나누어 질 때, 누구도 더 나빠지지 않으면서 개선할 여지가 없는 상태를 파레토 최적이라고 합니다. 보르히 정리는 그런 배분에서 각 참여자의 한계효용 비율이 손해 규모와 무관하게 일정해야 한다고 말합니다. 참여자들이 모두 지수형 위험회피를 가지면 이 조건은 '총손해를 일정 비율로 나눠 갖는 형태'로 단순해집니다. 이때 위험을 덜 싫어하는 쪽이 더 큰 몫을 떠안습니다.

왜 중요한가

재보험 구조와 공동인수, 보험풀의 이론적 근거를 제공하는 핵심 결과입니다. 최적 재보험 설계와 대재해위험 분담을 다루는 논문에서 출발 조건으로 자주 등장합니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

두 회사가 위험을 얼마나 싫어하는지에 따라 손해를 몇 대 몇으로 나누는 것이 최적인지 계산했다는 뜻입니다.

조금 더 깊게 보면

조건은 각 참여자 효용함수의 한계효용에 붙는 가중치가 손해 수준에 관계없이 고정된다는 형태로 표현됩니다. 이 가중치는 협상력에 해당하며, 파레토 최적점 중 어느 것이 실제로 선택될지는 가중치 조합이 결정합니다. 지수효용 가정 아래에서는 최적 분담률이 각자의 위험회피계수의 역수에 비례하는 깔끔한 형태가 되어 비례재보험의 이론적 정당화로 인용됩니다.

주의할 점

보르히 정리는 위험을 여럿이 어떻게 나눌 것인가를 다루며, 한 소비자가 어떤 보장을 살 것인가를 다루는 애로의 최적보험 정리와 문제 설정이 다릅니다. 또 정리는 파레토 최적 집합을 특징지을 뿐 그중 실현될 한 점을 지정해 주지는 않습니다.

관련 용어