변분원리 (Variational Principle (Quantum Mechanics))
쉽게 풀면
어떤 계의 가장 낮은 에너지를 알고 싶은데 방정식을 정확히 풀 수 없다고 합시다. 변분원리는 아무 그럴듯한 파동함수나 하나 골라 에너지를 계산해도, 그 값이 절대 진짜 바닥 상태 에너지보다 작아질 수 없다고 보장합니다. 그러면 전략이 분명해집니다. 조절 가능한 인자가 들어간 파동함수를 잡고, 계산한 에너지가 가장 작아지도록 인자를 맞추면 됩니다. 값이 작을수록 정답에 가까운 셈입니다.
왜 중요한가
섭동론이 작은 변화에만 쓸 수 있는 반면, 변분원리는 상호작용이 강해도 적용할 수 있다는 점에서 상보적인 도구입니다. 양자화학의 하트리-폭 방법과 대부분의 전자구조 계산이 변분원리 위에 세워져 있습니다. 최근에는 신경망이나 양자 컴퓨터를 이용해 시험 파동함수를 표현하는 연구에서도 같은 원리가 그대로 사용됩니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
조금 더 깊게 보면
임의의 시험 상태로 계산한 해밀토니안의 기댓값은 바닥 상태 에너지 이상이며, 등호는 시험 상태가 정확히 바닥 상태일 때만 성립합니다. 이는 시험 상태를 고유상태들의 합으로 전개해 보면 곧바로 확인됩니다. 바닥 상태와 대칭성이 다른 시험 함수 공간에 제한을 걸면 그 대칭성을 갖는 최저 상태에 대한 상한도 얻을 수 있어, 들뜬 상태 계산에도 확장됩니다. 다만 에너지가 잘 맞는다고 해서 파동함수 자체나 다른 물리량까지 정확하다는 보장은 없다는 점이 중요한 한계입니다.
주의할 점
변분원리가 주는 것은 바닥 상태 에너지의 '상한'이므로, 계산값이 실제보다 낮게 나왔다면 계산이 잘못된 것입니다. 또 에너지가 정확해도 전자밀도나 쌍극자 모멘트 같은 다른 양은 오차가 클 수 있습니다. 통계학의 변분추론이나 기계학습의 변분 오토인코더는 같은 수학적 아이디어를 쓰지만 대상과 목적이 달라 구분해 읽어야 합니다.