WKB 근사 (WKB Approximation)
쉽게 풀면
입자의 파장이 주변 환경이 변하는 규모보다 훨씬 짧으면, 파동은 마치 고전적인 입자처럼 행동합니다. WKB 근사는 이런 상황에서 파동함수를 "진폭이 천천히 변하고 위상이 빠르게 감기는" 꼴로 놓고 푸는 방법입니다. 결과적으로 위상은 고전적인 운동량을 경로를 따라 더한 값이 되고, 진폭은 입자가 느리게 지나가는 곳에서 커집니다. 파동광학에서 기하광학으로 넘어가는 근사와 구조가 같습니다.
왜 중요한가
양자 터널링 확률을 구하는 가장 표준적인 공식이 WKB 근사에서 나오며, 알파 붕괴의 반감기가 왜 에너지에 극도로 민감한지를 정량적으로 설명합니다. 주사터널링현미경의 전류가 거리에 따라 지수적으로 줄어드는 관계도 같은 계산에서 나옵니다. 또 속박 상태의 에너지 준위를 대략적으로 구하는 양자화 조건을 주기 때문에, 정확한 해가 없는 퍼텐셜에서 유용합니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
조금 더 깊게 보면
근사는 파동함수를 지수 함수의 지수부로 전개하고 플랑크 상수의 거듭제곱 순서로 항을 정리하는 방식으로 얻어집니다. 이 근사는 고전적으로 허용된 영역과 금지된 영역을 각각 잘 기술하지만, 두 영역의 경계인 전환점에서는 발산하므로 그 부근을 따로 연결해 주는 처리가 필요합니다. 속박 상태에 적용하면 한 주기 동안 위상이 정수 배가 되어야 한다는 양자화 조건이 나오는데, 이는 초기 양자론의 보어-조머펠트 조건과 본질적으로 같습니다. 금지된 영역을 통과할 때 진폭이 지수적으로 줄어든다는 결과가 터널링 확률 공식으로 이어집니다.
주의할 점
퍼텐셜이 급격히 변하는 구간이나 에너지가 퍼텐셜 꼭대기에 매우 가까운 경우에는 근사가 무너지므로 결과를 신뢰할 수 없습니다. 특히 전환점 바로 근처에서 공식을 그대로 적용하면 발산하는 값이 나옵니다. 또 이 근사는 정량적 추정에 유용하지만, 정밀한 준위 위치가 필요한 경우에는 수치 해를 사용해야 합니다.