언더우드 식 (Underwood Equation)
쉽게 풀면
증류탑에서 환류(콘덴서에서 응축된 액체를 다시 탑으로 되돌리는 것)를 얼마나 흘려보내야 원하는 분리가 가능한지 궁금할 때가 있습니다. 언더우드 식은 "이보다 적게 환류시키면 아무리 단을 많이 쌓아도 원하는 순도를 절대 얻을 수 없다"는 한계선, 즉 최소환류비를 계산해 줍니다. 두 단계의 방정식으로 이루어져 있으며, 먼저 중간 매개변수를 구한 뒤 이를 이용해 최소환류비를 산출합니다.
왜 중요한가
최소환류비는 실제 운전 환류비를 정하는 기준이 되며, 탑의 에너지 소비와 직결되기 때문에 공정 설계와 에너지 최적화 연구에서 필수적으로 다뤄집니다. 특히 성분이 셋 이상인 다성분 분리 시스템의 설계에서 표준적으로 활용됩니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
여러 성분이 섞인 혼합물에 대해 표준 절차로 최소환류비를 구했다는 뜻입니다.
이론적 하한값에 여유를 두어 실제 설계값을 정했다는 의미입니다.
조금 더 깊게 보면
언더우드 식은 공급물이 이상적으로 기화되는 조건(포화 액체 또는 포화 증기 등)을 가정하여 유도되며, 실제로는 공급물의 열적 상태(q값)를 반영한 형태로 확장되어 사용됩니다. 핵심성분들의 상대휘발도 사이에 존재하는 근(root)을 구하는 과정이 포함되어 있어 수치적으로 반복 계산이 필요한 경우가 많습니다. 언더우드 방정식은 다성분 증류에서 이론단수가 무한대일 때 필요한 환류비, 즉 최소환류비를 구하는 데 쓰이며, 상대휘발도가 조성에 따라 크게 변하지 않는다는 가정과 공급물의 열역학적 상태를 반영한 여러 근(root) 중 특정 범위의 근을 찾아 계산합니다. 펜스키식 최소단수 계산(Fenske equation)과 함께 다성분 증류탑의 예비설계(단축법, shortcut method)에서 짝을 이뤄 쓰입니다.
주의할 점
공급물의 열적 상태나 비이상적 기액평형이 강한 시스템에서는 이상화 가정으로 인한 오차가 커질 수 있어 정밀 설계에서는 엄밀한 단별 계산과 병행하여 검증하는 것이 일반적입니다. 혼합물의 상대휘발도가 조성에 따라 크게 변하는 비이상 시스템에서는 언더우드식의 가정이 무너져 오차가 커질 수 있어, 이 경우 엄밀한 단별 계산이나 시뮬레이션 소프트웨어를 이용한 검증이 필요합니다.