삼각형의 넓이 공식 (Triangle Area Formula)
쉽게 풀면
삼각형 넓이는 흔히 "밑변 × 높이 ÷ 2"로 배우지만, 실제 문제에서는 높이를 직접 잴 수 없는 경우가 많습니다. 이럴 때 두 변의 길이와 그 사이 끼인각의 사인(sin)값을 알면 넓이 = (1/2) × 변1 × 변2 × sin(끼인각)으로 구할 수 있고, 세 변의 길이만 알고 각도를 모를 때는 헤론의 공식을 이용해 세 변의 길이만으로도 넓이를 계산할 수 있습니다. 마치 땅의 세 꼭짓점 위치만 재도, 굳이 높이를 재지 않고도 그 땅의 면적을 계산해낼 수 있는 것과 같습니다.
왜 중요한가
삼각형 넓이 공식은 복잡한 도형의 면적을 계산할 때 가장 기본이 되는 도구입니다. 임의의 다각형은 여러 삼각형으로 분할해 넓이를 구할 수 있기 때문에, 측량, 지리정보시스템(GIS), 컴퓨터 그래픽스에서 메시(mesh)를 다루는 연구에 이르기까지 넓이나 부피 계산이 필요한 거의 모든 응용 분야에서 삼각형 넓이 공식이 계산의 기초 단위로 쓰입니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
측량, 지리정보시스템(GIS), 컴퓨터 그래픽스 연구에서는 불규칙한 다각형 영역을 여러 개의 삼각형으로 쪼갠 뒤 각 삼각형의 넓이를 합산하는 방식으로 전체 면적을 구하는 데 이 공식들이 기초로 쓰입니다.
컴퓨터 그래픽스나 3D 모델링 연구에서 물체 표면을 이루는 수많은 삼각형 면의 넓이를 벡터 연산으로 구하는 방식을 설명한 예문입니다.
측지학이나 위성항법 연구에서 관측 오차의 크기를 삼각형 넓이로 정량화할 때 쓰이는 표현입니다.
조금 더 깊게 보면
세 변의 길이만으로 넓이를 구하는 헤론의 공식은 세 변의 길이를 a, b, c라 하고 반둘레(s = (a+b+c)/2)를 구한 뒤, 넓이 = √(s(s-a)(s-b)(s-c))로 계산합니다. 컴퓨터 그래픽스나 좌표 기반 계산에서는 좌표값만으로 넓이를 구할 수 있는 '신발끈 공식(shoelace formula)'이나 벡터의 외적을 이용한 방법도 널리 쓰이는데, 이는 각도나 변의 길이를 별도로 계산할 필요 없이 꼭짓점 좌표만으로 바로 넓이를 얻을 수 있어 프로그램으로 대량 계산할 때 특히 효율적입니다.
주의할 점
두 변과 끼인각을 이용한 공식은 반드시 "끼인각"(두 변 사이의 각)을 사용해야 하며, 다른 각을 넣으면 틀린 값이 나옵니다. 각도 대신 세 변의 길이로 구할 때는 피타고라스의 정리와는 다른 별도의 헤론의 공식을 사용해야 한다는 점도 헷갈리지 않아야 합니다.