사인법칙과 코사인법칙 (Law of Sines and Cosines)
쉽게 풀면
직각삼각형이 아닌 일반 삼각형에서는 삼각비를 그대로 쓸 수 없습니다. 이때 등장하는 것이 사인법칙과 코사인법칙입니다. 사인법칙은 "변의 길이와 그 맞은편 각의 사인값의 비율이 삼각형 어디서나 똑같다"는 규칙이고, 코사인법칙은 "두 변의 길이와 그 사이 각을 알면 나머지 한 변의 길이를 구할 수 있다"는 규칙입니다. 예를 들어 산 정상까지의 거리를 직접 잴 수 없을 때, 관측한 두 지점 사이의 거리와 각도만으로 삼각형을 그려 산까지의 거리를 계산할 수 있는데, 이때 쓰이는 것이 바로 이 두 법칙입니다.
왜 중요한가
사인법칙과 코사인법칙은 직접 측정하기 어려운 거리나 각도를, 측정 가능한 몇 가지 값만으로 계산할 수 있게 해주는 도구이기 때문에 측량학·항법·로봇공학·컴퓨터 비전처럼 공간상의 위치를 다루는 다양한 응용 분야 논문에서 기본 계산 도구로 쓰입니다. GPS가 없던 시대의 삼각측량부터 로봇 팔의 관절 각도 계산, 위성 궤도 분석에 이르기까지, 직접 접근할 수 없는 지점 사이의 기하학적 관계를 알아내야 하는 문제 전반에 적용됩니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
이 문장은 실제로 잴 수 없는 거리를, 측정 가능한 각도와 변의 관계식을 이용해 간접적으로 계산했다는 뜻입니다. 측량, 항법, 3차원 좌표 계산 등에서 기본 도구로 널리 쓰입니다.
로봇공학에서는 로봇의 손끝을 원하는 위치에 놓기 위해 각 관절이 얼마나 움직여야 하는지를 계산할 때 코사인법칙이 활용됩니다.
컴퓨터 비전 분야에서는 여러 대의 카메라로 촬영한 각도 정보를 이용해 물체까지의 거리(깊이)를 계산하는 데 사인법칙 기반의 삼각측량 원리를 사용합니다.
조금 더 깊게 보면
사인법칙과 코사인법칙은 직각삼각형에서만 성립하는 기본 삼각비를 일반적인 삼각형으로 확장한 결과로, 코사인법칙은 세 변의 길이와 한 각의 코사인값을 연결한다는 점에서 피타고라스의 정리를 일반화한 식으로도 볼 수 있습니다. 실제 계산에서는 각도를 라디안 단위로 다루는 경우가 많고, 컴퓨터 프로그램으로 구현할 때는 역삼각함수(아크코사인 등)를 사용해 각도를 구하는 과정에서 계산상의 오차가 누적되지 않도록 주의가 필요합니다.
주의할 점
사인법칙은 "각-각-변" 또는 "각-변-각"처럼 각을 낀 정보가 있을 때, 코사인법칙은 "변-각-변"처럼 두 변과 그 사이 각을 알 때 주로 사용합니다. 어떤 정보가 주어졌는지에 따라 어느 법칙을 쓸지가 달라지므로, 무작정 하나만 외워 적용하면 안 됩니다. 또한 삼각함수의 값을 정확히 알아야 계산이 가능합니다.