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초월수 (Transcendental Number)

쉽게 풀면

정수를 계수로 가진 다항방정식의 해가 되는 수를 대수적 수라 하고, 그렇지 못한 수를 초월수라고 합니다. 2의 제곱근은 x제곱이 2가 되는 방정식의 해이므로 무리수이지만 대수적 수입니다. 반면 원주율과 자연상수 e는 어떤 정수 계수 방정식으로도 표현되지 않는 초월수입니다.

왜 중요한가

수를 유리수와 무리수로 나누는 것보다 더 세밀한 분류를 제공하며, 고전 작도 문제의 불가능성을 확정하는 열쇠가 됩니다. 원주율이 초월수라는 사실이 증명되면서 자와 컴퍼스만으로 원과 같은 넓이의 정사각형을 그릴 수 없다는 문제가 최종적으로 해결되었습니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

조금 더 깊게 보면

대수적 수 전체는 가산집합인 반면 실수는 비가산이므로, 실수의 거의 모든 원소가 초월수입니다. 그러나 특정한 수 하나가 초월수임을 증명하는 일은 매우 어려워서, 리우빌이 1844년 인위적으로 구성한 예가 최초였고 e와 원주율의 초월성은 각각 1873년과 1882년에 증명되었습니다. 겔폰트-슈나이더 정리는 대수적 수의 대수적 무리수 거듭제곱이 초월수임을 보장하는 일반 결과입니다.

주의할 점

무리수와 초월수는 다릅니다. 모든 초월수는 무리수이지만 무리수 중에는 2의 제곱근처럼 대수적인 것이 많습니다. 또 초월수끼리의 합이나 곱은 초월수가 아닐 수 있습니다.

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