집합의 기수 (Cardinality)
한 줄 정의: 집합의 크기를 일대일대응으로 비교해 정한 개념입니다.
쉽게 풀면
두 집합의 원소를 빠짐없이 짝지을 수 있으면 크기가 같다고 봅니다. 이 기준을 쓰면 자연수 전체와 짝수 전체의 크기가 같아지는데, 무한집합에서는 부분이 전체와 같은 크기일 수 있기 때문입니다. 자연수와 짝지을 수 있는 무한집합을 가산집합, 그렇지 않은 집합을 비가산집합이라고 합니다.
왜 중요한가
무한에도 크기의 차이가 있음을 밝혀 수학의 기초를 바꾼 개념이며, 실수가 자연수보다 진짜로 많다는 사실이 여기서 나옵니다. 또 대부분의 실수가 초월수이고 대부분의 함수가 계산 불가능하다는 존재 논증이 모두 기수 비교로 이루어집니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"해당 집합이 가산임을 보인 뒤 실수 집합과의 기수 차이를 이용해 원하는 원소의 존재를 논증하였다."
조금 더 깊게 보면
유리수 전체와 대수적 수 전체는 가산이지만 실수 전체는 비가산이며, 이는 칸토어 대각선 논법으로 증명됩니다. 어떤 집합이든 그 멱집합의 기수가 더 크다는 칸토어 정리에 따라 무한 기수는 끝없이 커집니다. 자연수의 기수와 실수의 기수 사이에 다른 기수가 존재하는가라는 연속체 가설은 표준 집합론 공리계와 독립적임이 증명되어 있습니다.
주의할 점
유한집합의 원소 개수와 달리 무한집합에서는 진부분집합이 전체와 같은 기수를 가질 수 있으므로, 부분이 더 작다는 직관을 적용하면 안 됩니다. 서수가 순서 구조를 나타낸다면 기수는 크기만을 나타냅니다.