서수 (Ordinal Number)
한 줄 정의: 정렬된 집합의 순서 구조를 나타내는, 무한까지 이어지는 번호 체계입니다.
쉽게 풀면
첫째, 둘째, 셋째처럼 순서를 나타내는 수를 무한까지 확장한 것이 서수입니다. 자연수를 모두 지나간 다음 자리를 오메가라 부르고, 그 뒤로 오메가 더하기 1, 오메가 더하기 2가 계속 이어집니다. 개수만 세는 기수와 달리 서수는 어떤 순서로 배열되어 있는지를 구별합니다.
왜 중요한가
집합론의 초한귀납법과 초한재귀는 서수를 따라 증명이나 구성을 무한히 이어 가는 방법으로, 정렬가능성 정리와 함께 집합론적 구성의 표준 도구가 됩니다. 증명론에서는 형식체계의 강도를 서수로 재는 서수분석이 이루어집니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"서수에 대한 초한귀납법을 사용하여 모든 단계에서 성질이 유지됨을 증명하였다."
조금 더 깊게 보면
폰 노이만의 정의에 따르면 각 서수는 자기보다 작은 서수들의 집합 자체이며, 원소 관계가 곧 순서가 됩니다. 서수의 덧셈과 곱셈은 정의되지만 교환법칙이 성립하지 않아서, 1을 오메가 앞에 더한 것과 뒤에 더한 것이 서로 다릅니다. 서수는 바로 앞 원소를 갖는 따름서수와 그렇지 않은 극한서수로 나뉘며, 초한귀납법은 이 두 경우를 나누어 다룹니다.
주의할 점
기수와 혼동하면 안 됩니다. 서로 다른 서수가 같은 기수를 가질 수 있어서, 오메가와 오메가 더하기 1은 서수로는 다르지만 둘 다 가산집합입니다. 또 서수의 산술은 자연수의 산술과 규칙이 다릅니다.