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대칭군 (Symmetric Group)

쉽게 풀면

n개의 물건을 재배열하는 방법 전체를 모으고, 두 번 연달아 재배열하는 것을 연산으로 삼으면 군이 됩니다. 이를 n차 대칭군이라 하며 원소의 개수는 n 팩토리얼입니다. 각 재배열을 치환이라 부르고, 몇 개의 원소가 돌아가며 자리를 바꾸는 순환 형태로 표현하는 것이 관례입니다.

왜 중요한가

케일리 정리에 따르면 모든 유한군은 어떤 대칭군의 부분군과 동형이므로, 대칭군은 유한군 전체를 담는 그릇입니다. 또한 갈루아 이론에서 방정식의 근을 뒤바꾸는 대칭이 바로 대칭군의 부분군으로 나타나며, 조합론과 표현론에서도 중심 대상입니다.

논문에서는 이렇게 쓰입니다

조금 더 깊게 보면

모든 치환은 두 원소를 맞바꾸는 호환들의 곱으로 표현되고, 그 개수의 홀짝은 표현 방식과 무관하게 정해집니다. 이 부호로 짝치환만 모은 것이 교대군이며 대칭군의 지표 2인 정규부분군입니다. 행렬식의 정의에 등장하는 부호가 바로 이 치환의 부호이고, 5차 이상에서 교대군이 단순군이라는 사실이 갈루아 이론에서 일반 오차방정식의 불가해성을 낳습니다. 3차 이상의 대칭군은 아벨군이 아닙니다.

주의할 점

도형의 대칭을 다루는 이면체군이나 회전군은 대칭군의 부분군일 뿐 대칭군 자체가 아닙니다. 또 순열과 조합이 경우의 수를 세는 문제라면, 대칭군은 그 순열들에 연산 구조를 부여한 대수적 대상입니다.

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