갈루아 이론 (Galois Theory)
한 줄 정의: 방정식의 근이 갖는 대칭성을 군으로 바꾸어 해석하는 이론입니다.
쉽게 풀면
다항식의 근들은 서로 바꿔 넣어도 계수 관계가 그대로 유지되는 경우가 있습니다. 이런 뒤바꿈 전체를 모으면 하나의 군이 되는데, 이를 갈루아 군이라고 합니다. 갈루아 이론은 방정식을 푸는 문제를 이 군의 구조를 조사하는 문제로 바꿉니다. 방정식이 근호로 풀리는지 여부가 이 군이 특별한 성질을 갖는지로 판정됩니다.
왜 중요한가
5차 이상의 일반 방정식에 근의 공식이 존재하지 않는 이유, 각의 삼등분이나 정육면체 배적 같은 고전 작도 문제가 불가능한 이유를 하나의 원리로 설명합니다. 대수적 구조와 대칭성의 대응이라는 현대 수학의 사고방식 자체를 열어 준 이론으로 평가됩니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"해당 다항식의 갈루아 군이 가해군이 아님을 보여 근호에 의한 해법이 존재하지 않음을 증명하였다."
조금 더 깊게 보면
핵심은 체의 확대와 군 사이의 대응입니다. 어떤 확대체에서 바탕체를 고정시키는 자기동형사상 전체가 갈루아 군을 이루고, 중간에 놓인 체들과 갈루아 군의 부분군들이 포함 관계를 뒤집으며 일대일로 대응합니다. 방정식이 근호로 풀린다는 것은 이 군이 아벨군들의 층으로 분해되는 가해군이라는 것과 동치이며, 5차 이상에서 등장하는 교대군이 단순군이어서 이 분해가 불가능해집니다.
주의할 점
갈루아 이론은 구체적인 근을 구해 주는 방법이 아니라, 근을 근호로 표현할 수 있는지를 판정하는 이론입니다. 5차 방정식의 수치해는 언제나 구할 수 있다는 점과 혼동하지 않아야 합니다.