순환군 (Cyclic Group)
한 줄 정의: 한 원소를 반복해서 연산하는 것만으로 전체가 만들어지는 군입니다.
쉽게 풀면
어떤 원소 하나를 계속 곱하거나 더해 나가면 군의 모든 원소가 나오는 경우, 이 군을 순환군이라 하고 그 원소를 생성원이라고 합니다. 시계의 시각을 12로 나눈 나머지로 다루는 체계가 대표적입니다. 1을 계속 더하면 12개의 값이 모두 나오고 다시 처음으로 돌아옵니다.
왜 중요한가
순환군은 구조가 가장 단순한 군이면서, 유한 아벨군이 순환군들의 곱으로 분해된다는 정리 덕분에 군 분류의 기본 벽돌 역할을 합니다. 암호학의 이산로그 문제도 순환군 위에서 정의되므로 정보보안 이론의 바탕이 되기도 합니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"해당 부분군이 순환군임을 보이고 생성원의 위수를 계산하여 전체 구조를 규명하였다."
조금 더 깊게 보면
무한 순환군은 정수의 덧셈군과, 위수가 n인 유한 순환군은 n으로 나눈 나머지들의 덧셈군과 각각 동형이므로 순환군의 종류는 이것이 전부입니다. 위수가 n인 순환군의 부분군은 n의 각 약수마다 정확히 하나씩 존재하고 모두 순환군입니다. 생성원의 개수는 오일러 파이 함수 값과 같으며, 소수 p에 대해 p로 나눈 나머지 중 0이 아닌 것들의 곱셈군이 순환군이라는 사실이 원시근의 존재를 보장합니다.
주의할 점
모든 아벨군이 순환군인 것은 아닙니다. 순환군은 반드시 아벨군이지만 그 역은 성립하지 않으며, 생성원이 하나로 충분한지가 핵심 조건입니다.