평사도법 (Stereographic Projection)
쉽게 풀면
평사도법은 지구본의 한 점에 전구를 놓고 그 빛이 지구 표면을 통과해 반대쪽 평면에 그림자를 만든다고 상상하면 이해하기 쉽습니다. 이 방식으로 만들어진 지도는 투영 중심 근처에서 각도와 형태가 실제와 매우 비슷하게 유지됩니다. 다만 중심에서 멀어질수록 면적이 점점 크게 부풀려 보입니다. 극지방 지도에 특히 자주 사용됩니다.
왜 중요한가
평사도법은 각도와 형태를 보존하는 정각성 덕분에 극지방 항공・해양 항법 지도, 결정학의 결정면 방향 표시, 천체 관측용 별자리 지도 등 각도 정보가 중요한 다양한 분야에서 활용됩니다. 방위도법 계열 중에서도 정각성을 가진 대표적 사례로 지도학과 결정학 양쪽에서 자주 인용됩니다.
평사도법은 각과 원의 형태가 정확히 보존되는 성질 때문에 결정학의 극점도 작성, 천체 관측용 별자리표, 극지방 항공로 지도 등 정밀한 각도 정보가 중요한 다양한 과학·항공 분야에서 채택되어 왔습니다.
핵심 정리
- 평사도법은 구 위의 점을 구의 한 점(시점)에서 평면으로 직선을 그어 투영하는 방위도법입니다. 흔히 투영 중심점에서 접하는 평면을 쓰고 시점은 그 반대편 점(대척점)에 둡니다.
- 투영 중심에서 각거리 c 만큼 떨어진 점은 평면에서 중심으로부터 r = 2R·tan(c/2) 떨어진 곳에 놓입니다(R은 구의 반지름).
- 두 곡선이 만나는 각을 그대로 보존하는 정각성이 있고(정각도법), 구 위의 원은 투영 뒤에도 원으로 나타나며, 시점을 지나는 원만 직선이 됩니다.
- 축척은 방향에 관계없이 중심에서 멀어질수록 1/cos²(c/2)로 커져 면적 왜곡이 큽니다. 그래서 극 지역처럼 한정된 구역 지도에 쓰이고 전 지구 지도에는 맞지 않습니다.
- 같은 투영이 결정학의 스테레오그램(극점도)에도 쓰입니다. 결정면의 방향을 단위구 위의 점으로 놓고 평사투영한 것이며, 각도를 읽는 데 쓰는 격자는 울프 망입니다(Cullity & Stock, 2001).
예시로 보기
접평면 투영을 기준으로, 중심에서 멀어질 때 크기가 어떻게 달라지는지 계산한 값입니다(R = 1).
| 중심과의 각거리 c | 평면 위 거리 r | 선 축척 | 면적 배율 |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1.00 | 1.00 |
| 30° | 0.54 | 1.07 | 1.15 |
| 60° | 1.15 | 1.33 | 1.78 |
| 90° | 2.00 | 2.00 | 4.00 |
| 120° | 3.46 | 4.00 | 16.0 |
90°(반구의 가장자리)에서 이미 면적이 4배이고, 반구를 넘어서면 급격히 커집니다. 한 반구를 평사도법 하나로 그리면 가장자리의 크기가 실제보다 크게 과장되는 이유입니다. 극 지역 도법으로 쓰는 범용 극평사도법(UPS)은 극에서 축척계수를 0.994로 두어 전체 왜곡을 줄입니다.
자주 하는 오해
| 오해 | 바로잡기 |
|---|---|
| 각도를 보존하니 면적도 정확하다. | 정각성은 각도와 국지적 형태만 보존합니다. 면적은 중심에서 멀어질수록 크게 부풀려집니다. |
| 모든 방위도법은 같은 성질을 가진다. | 방위도법은 시점의 위치에 따라 다릅니다. 평사도법은 정각성을, 람베르트 정적방위도법은 면적 보존을, 정사도법은 무한히 먼 시점에서의 모습을 줍니다. |
| 평사도법으로 지구 전체를 그릴 수 있다. | 시점 자체가 평면 위 무한대로 가므로 전 지구를 한 장에 담을 수 없습니다. 한 반구까지가 일반적입니다. |
| 지도학에서만 쓰는 투영이다. | 결정학의 극점도, 천체 관측 지도 등에서도 쓰입니다. |
논문에서는 이렇게 쓰입니다
실제 논문에서
이 용어를 직접 쓴 국내 논문 문장을 아직 수집하지 못했습니다. 수집되는 대로 출처와 함께 싣겠습니다.
예시 문장
아래는 용어의 쓰임을 보여 주려고 만든 예시로, 실제 논문에서 가져온 문장이 아닙니다.
극지방 항법 지도 제작에 평사도법이 적합한 이유를 설명하는 문장입니다.
지도학 외 결정학 분야에서 평사도법의 원리가 응용되는 사례를 보여주는 문장입니다.
조금 더 깊게 보면
평사도법은 투영 중심에서 대척점을 시점으로 삼아 구면 위의 각 점을 접평면으로 직선 투영하는 기하학적 원리를 따릅니다. 이 방식은 원을 원으로 보존하는 성질을 가지고 있어 원형 대상(예: 결정면, 천구상의 원)의 형태를 유지하는 데 특히 유리합니다. 극을 중심으로 할 때 위선은 동심원, 경선은 방사형 직선으로 나타납니다.
평사도법은 구면 위의 원이 투영 후에도 항상 원 또는 직선으로 나타나는 등각 방위도법으로, 이러한 성질 덕분에 극지방 항공로 표시나 결정학에서의 각도 분석 등 원과 각의 보존이 중요한 분야에서 폭넓게 쓰입니다.
주의할 점
정각성은 뛰어나지만 면적은 중심에서 멀어질수록 급격히 과장되므로, 전 지구 지도나 면적 비교에는 적합하지 않고 국지적 지역이나 특정 방향성 표현에 주로 사용됩니다.
투영 중심에서 멀어질수록 면적 왜곡이 급격히 커지므로, 반구 전체를 하나의 평사도법 지도에 담으면 가장자리 지역의 크기가 실제보다 크게 과장됩니다.
헷갈리기 쉬운 용어
| 도법 | 보존하는 성질 | 비고 |
|---|---|---|
| 평사도법 | 각도(정각) | 방위도법, 극 지역과 결정학에 쓰임 |
| 람베르트 정적방위도법 | 면적(정적) | 같은 방위도법이지만 면적 보존 |
| 정사도법 | 보존하는 성질 없음(반구를 지구본처럼 표현) | 무한히 먼 곳에서 본 모습 |
| 메르카토르 투영법 | 각도(정각) | 원통도법, 고위도에서 면적 왜곡이 큼 |
전반적인 개념은 지도투영법에서 다룹니다.
참고 문헌
- Snyder, J. P. (1987). Map Projections—A Working Manual (U.S. Geological Survey Professional Paper 1395). U.S. Government Printing Office.
- Snyder, J. P. (1993). Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections. University of Chicago Press.
- Cullity, B. D., & Stock, S. R. (2001). Elements of X-ray Diffraction (3rd ed.). Prentice Hall.
- Needham, T. (1997). Visual Complex Analysis. Oxford University Press.
표의 기준값은 위 문헌에 근거한 관례이며, 분야·학술지마다 다른 기준을 쓸 수 있습니다.