잠재가격(선형계획) (Shadow Price)
한 줄 정의: 선형계획에서 제약 우변을 1단위 늘릴 때 최적 목적함숫값이 변하는 양입니다.
쉽게 풀면
공장에서 기계 시간이 1시간 더 생기면 이익이 얼마나 늘어날까요? 선형계획의 최적해를 구하면 각 자원 제약마다 이 질문의 답이 나오는데, 그것이 잠재가격입니다. 그 자원 1단위를 추가로 얻기 위해 최대 얼마까지 지불할 가치가 있는지를 알려 줍니다.
왜 중요한가
자원 추가 구매, 설비 증설, 병목 자원 판별 같은 의사결정을 뒷받침하는 핵심 산출물입니다. 최적화 논문의 결과 해석과 관리적 시사점에서 자주 보고됩니다.
논문에서는 이렇게 쓰입니다
"조립 라인 가용시간 제약의 잠재가격은 시간당 4.2만 원으로, 우변 범위 1,200~1,450시간 내에서는 시간당 3만 원의 초과근무 비용을 들여 가용시간을 늘리는 것이 유리하다."
잠재가격과 그것이 유효한 우변 범위를 함께 보고한 예입니다.
조금 더 깊게 보면
최적해에서 제약 i의 잠재가격은 대응하는 최적 쌍대변수 값과 같습니다. 단체법 최종표에서는 여유변수 열의 목적행 값으로 읽을 수 있습니다. 여유가 남는(등호로 묶이지 않은) 제약의 잠재가격은 상보여유성에 따라 0입니다. 잠재가격은 최적 기저가 바뀌지 않는 우변 범위 안에서만 일정하며, 범위를 벗어나면 다시 최적화해야 합니다. 퇴화해가 있으면 우변을 늘릴 때와 줄일 때의 한계가치가 서로 다를 수 있습니다.
주의할 점
'민감도분석(선형계획)'이 계수 변화의 영향을 살피는 절차이고 '쌍대성이론'이 이론 틀이라면, 잠재가격은 그 결과로 얻는 구체적인 수치입니다. 우변 범위를 넘는 큰 변화에 잠재가격을 곱해 효과를 추정하면 틀린 결론이 나올 수 있습니다.